Предисловие......................... 7
Введение ,.......................... 9
1. О вычислительных методах математики (9). 2. О погрешностях при численном решении задач (13).
Глава 1. Интерполирование
§ 1» Содержание задачи; погрешность и сходимость......21
I. О задаче интерполирования (21). 2. Погрешность интерполирования и сходимость интерполяционного процесса (28).
§ 2. Конечные разности и разностные отношения .,,..., 30 1. Конечные разности (30). 2. Разностные отношения и связь их с конечными разностями (32).
§ 3. Алгебраическое интерполирование функций........37
1. Некоторые представления интерполирующего многочлена (37). 2. Погрешность интерполирования и ее представления для некоторых классов функций (42).
§4. Интерполирование при равноотстоящих значениях аргумента 49 1. Интерполирование в начале и в конце таблицы (50). 2. Интерполирование внутри таблицы (52).
§ 5. Интерполирование с кратными узлами...........55
1. Содержание задачи; интерполирующий многочлен и погрешность (55). 2. Представление погрешности интерполирования в случае аналитической функции (57).
§ 6, О вычислении значений производных с помощью интерполирования функций....................60
1. Формула вычислений; представление погрешности формулы (60). 2. Некоторые частные формулы вычисления производных (63).
§ 7. О сходимости интерполяционных процессов , »......65
1. Введение (65). 2. Сходимость на множествах непрерывных и дифференцируемых функций (66). 3. Сходимость интерполирования для аналитических функций (72).
Литература.......................... 76
Глава 2. Системы линейных алгебраических уравнений
§ 1. Введение.........................77
§ 2. Некоторые сведения о векторах и матрицах ,......79
1. О сходимости последовательностей векторов и матриц (79). 2. Нормы векторов и матриц (80). 3. Сходимость матричной геометрической прогрессии (87).
§ 3. Методы исключения неизвестных.............91
1. Метод Гаусса, схема единственного деления (91). 2. Метод оптимального исключения (94). 3. Вычисление определителей (96). 4. Обращение матриц и уточнение приближенной обратной матрицы (97). § 4. Методы, основанные на разложении матрицы коэффициентов ...........................99
1. Случай эрмитовой матрицы (99). 2. Случай матрицы с отличными от нуля главными минорами (101).
§ 5. Метод ортогонализации.................103
§ 6. Метод простой итерации.................105
1. Об итерационных методах (105). 2. Описание метода простой итерации и условия его сходимости (105). 3. Об уточнении приближений и ускорении сходимости в методе простой итерации (108).
§ 7. Метод Зейделя.....................113
1. Описание и сходимость метода (113). 2. Другая форма метода Зейделя (118). § 8. Связь с задачей об экстремуме многочлена второй степени ...........................119
1. Введение (119). 2. Метод покоординатного спуска (121). 3. Понятие о методе градиентного спуска (122). § 9. Оценка погрешности приближенного решения и мера обусловленности .......................124
1. Оценка погрешности решения системы (124). 2. Мера обусловленности системы и матрицы (124). Литература...........................126
Глава 3. Вычисление собственных многочленов, значений
и векторов матриц
§ 1. Введение........................127
1. О содержании задачи (127). 2. Аннулирующий и минимальный многочлены матрицы (129). § 2. Метод, основанный на подобном преобразовании матрицы 130 1. Нахождение собственного многочлена (130). 2. Вычисление собственных векторов (136). § 3. Применение минимального многочлена матрицы, аннулирующего заданный вектор................137
1. Построение многочлена (137). 2. Нахождение собственных векторов (140). § 4. Два видоизменения правила применения минимального мно-
ючлена.........................142
1. Метод ортогонализации (142). Метод приведения к нулю составляющих итерированных векторов (145). § 5. Интерполяционный Метод нахождения собственного многочлена .........................147
1. Приведение к линейной системе уравнений (148). 2. Связь с задачей интерполирования (148). § 6. Итерационный степенной метод нахождения собственных
значений и собственных векторов............ 149
• 1. Нахождение наибольшего по модулю собственного значения и соответствующего собственного вектора (149).
2. Некоторые более сложные случаи (152). 3. Нахождение собственного значения, второго по величине модуля (155). S 7. Итерационный метод вращений для полкой проблемы собственных значений.....................157
1. Введение (157). 2. Метод вращений (159). '¦ § 8. Увеличение точности приближенных собственных значений и векторов и ускорение сходимости вычислительных процессов ..........................162
1. Уточнение отдельного собственного значения и соответствующего собственного вектора (162). 2. Увеличение точности в полной проблеме собственных значений и векторов (163). 3. Ускорение сходимости с помощью преобразования последовательности (166). Литература..........................169
Глава 4. Решение численных уравнений
§ 1. Введение.........................170
§ 2. Метод итерации; одно численное уравнение........172
§ 3. Об ускорении сходимости итерационного метода.....179
1. О задаче ускорения сходимости (179). 2. Метод линейного интерполирования или метод секущих (180). 3. Применение преобразования Эйткена (184). 4. Ускорение сходимости при помощи преобразования уравнения (187). § 4. Метод итерации для системы уравнений.........190
1. Описание метода простой одношаговой итерации (190).
2. Аналог правила Зейделя (192).
§ 5. Метод Ньютона.....................193
1. Метод Ньютона для одного численного уравнения (193). 2. Некоторые видоизменения метода Ньютона (202).
3. Метод Ньютона для системы уравнений (207).
§ 6. Интерполяционные методы решения уравнений......210
1. О построении интерполяционных методов (210). 2. Me- ' трд, основанный на интерполировании функции (213) 3. Метод, основанный на интерполировании обратной функции (216).
§ 7. Упрощение алгебраических уравнений путем выделения
множителей.......................218
1. Введение (218). 2. Нахождение линейного множителя многочлена (218). 3. Нахождение квадратичного множителя (220).
Литература .........................222
Глава 5. Численное интегрирование
§ 1. Введение........................223
1. О форме, придаваемой интегралу при вычислении (223). —
2. Квадратурная сумма и связанные с ней задачи (224).
3. Погрешность квадратуры и сходимость квадратурного процесса (227).
§ 2. Интерполяционные квадратурные правила.........228
1. Общая интерполяционная квадратура (228). 2. Квадратурные формулы с равноотстоящими узлами (233),
§ 3. Простейшие формулы Ньютона—Котеса и применение их к повышению точности интегрирования путем разделения
отрезка на части....................237
1. Формула трапеций (238). 2. Формула парабол (239).
3. Формула «трех восьмых» (241).
§ 4. Квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности...............¦.......243
1. Некоторые общие понятия и теоремы (243). 2. О положительности квадратурных коэффициентов (248). 3. Погрешность квадратуры наивысшей степени точности (248).
4. Замечание о связи с ортогональной системой многочленов (250).
§ 5. Квадратурные формулы, отвечающие простейшим весовым
функциям........................ 251
1. Постоянная весовая функция (251). 2. Интегралы ви-ь
да \(b — x)a(x — a)pf {x)dx (253). 3. Интегралы вида
а со оо
[ xae~xf(x)dx (256). 4. Интегралы вида [e~x'f(x)dx
О -оо
(257).
§ 6. Формулы численного интегрирования, содержащие заранее
предписанные узлы................... 258
1. Содержание задачи и общие теоремы (258). 2. Частные случаи (261).
§ 7. Квадратурные формулы с равными коэффициентами. . .263 1. Построение формулы (263). 2. Случай постоянной весовой функции (266).
§ 8. Задача увеличения точности квадратурных формул; формула Эйлера........................268
1. О содержании задачи (268). 2. Формула Эйлера—Макло-рена (269). 3. Разностные видоизменения формулы Эйлера— Маклорена (275).
§ 9. Некоторые теоремы о сходимости квадратурных процессов ...........................276
1. О сходимости общего квадратурного процесса (277).
2. О сходимости интерполяционных квадратур (282).
§ 10. Вычисление неопределенного интеграла..........286
1. Введение (286). 2. Интерполяционная формула вычислений частного вида (298)
Литература.....,....................302
Предметный указатель....................303
ПРЕДИСЛОВИЕ
Сейчас электронные вычислительные машины (ЭВМ)' разных классов — от простейших карманных до мощных быстродействующих — стали относительно дешевыми и доступными. Они имеются во многих научных центрах, конструкторских бюро и на предприятиях. Поэтому сильно расширился круг научных и инженерно-технических работников, имеющих возможность производить на ЭВМ расчеты, гораздо более сложные, чем они ранее производили вручную. Но более сложные расчеты требуют и более глубокого знакомства с численными методами.
В этой книге содержится изложение большого числа вычислительных методов, применяемых при решении задач на ЭВМ, и как справочник по этим методам она может служить руководством для работников вычислительных центров и тех научных и инженерно-техниче-> ских работников, которым приходится иметь дело с численным решением научных и технических задач.
Книга может быть использована как учебник при изучении теории вычислительных методов математики студентами технических учебных заведений с расширенной программой курса математики. Для понимания почти всего содержания книги достаточно знания анализа и алгебры в объеме таких программ. Лишь в очень небольшой части изложения авторы выходили за их границы, используя понятие аналитической функции комплексной переменной и интегральные представления таких функций.
Как пособие при изучении вычислительных методов, книга будет полезной также студентам физических, механико-математических и математических факультетов университетов.
Цена: 150руб.
