8. Ряды g
§ 1. Теоремы о конечном приращении 10 1.1. Формулировка теоремы о конечном приращении (10). 1.2. Теорема Ролля (12). 1.3. Доказательство теоремы о конечном приращении (12). Упражнения (12). 1.4. Обобщенная теорема о конечном приращении (13). Упражнения (14). 1.5. Погрешность линейного приближения (15). Упражнения (17).
§ 2. Теорема Тейлора 18
2.1. Параболическое приближение (18). Упражнения (20). 2.2. Многочлены Тейлора (20). Упражнения (24). 2.3. Теорема Тейлора (24). Упражнения (25). 2.4. Биномиальная теорема (26). Упражнения (27). 2.5. Биномиальные коэффициенты для произвольного показателя (27). Упражнения (28). 2.6. «Элементар-ные> варианты формулы Тейлора (29). 2.7. Вычисление логарифмов (29). 2.8. Вычисление Я (31). Упражнения (33). 2.9. Формула Тейлора для показательной функции (33). 210. Формулы Тейлора для синуса и косинуса (34). Упражнения (34). 2.11. Сигма-символика (34). Упражнения (36). 2.12. Сводка формул Тейлора (37).
§ 3. Бесконечные последовательности 39 3.1. Сложение бесконечного множества чисел (39). 3.2. Необходимость в точности (40). 3.3. Бесконечные 'Последовательности (41). Упражнения (42). 3.4. Сходящиеся последовательности. Пределы (43). Упражнения (45). 3.5. Свойства пределов (46). 3.6. Вычисление пределов (47). 3.7. Расходящиеся последовательна™ (49). Упражнения (51). 3.8. Монотонные последовательности (52). Упражнения (53). 3.9. Постоянная Эйлера (54).
§ 4. Бесконечные ряды 55
4.1. Частные суммы (55). 4.2. Сходящиеся ря,-ды (56). Упражнения (58). 4.3. Необходимое условие сходимости (58). 4.4. Расходящиеся ряды (59). Упражнения (60). 4.5. Геометрическая прогрессия (60). 4.6. Операции над рядами (62). Упражнения (62). 4.7. Ряды с положительными членами (63). 4.8. Признак сравнения (63). 4.9. Десятичные дроби как ряды (64). Упражнения (64). 4.10. Интегральный признак (65). Упражнения (67).
4.11. Критерий частных (68). Упражнения 69),
4.12. Знакопеременные ряды (70). 4.13. Абсолютная сходимость (70). 4.14. Перестановка членов (71). Упражнения (72). 4.15. Умножение рядов по Коши (72). Упражнения (73).
§ 5. Степенные ряды 74
5.1. Сходящиеся и расходящиеся степенные ряды (74). 5.2. Радиус сходимости (75). 5.3. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов (76). Упражнения (77). 5.4. Ряд Тейлора (78). 5.5. Аналитические функции (79). Упражнения (80). 5.6. Примеры рядов Тейлора (80). Упражнения (82). 5.7. Биномиальный ряд (83). Упражнения (85). 5.8. Умножение степенный рядов (85). 5.9. Деле-
ние степенных рядов (86). Упражнения (87).
5.10. Четные и нечетные функции (88). Упражнения (88). 5.11. Подстановка ряда в РЯД (89). Упражнения (90). 5.12. Примечание (90).
Приложение к главе 8 90
§ 6. Правило Лопиталя 90
6.1. Неопределенности вида О/О. (90). Упражнения (91). 6.2. Неопределенности вида да/со (92). 6.3. Обобщения (93). Упражнения (93). 6.4. Другие неопределенные выражения (94). Упражнения (95). § 7. Доказательства сходимости 96
7.1. Монотонные последовательности (96). Упражнение (96). 7.2. Перестановка членов ряда (96), Упражнения (99). 7.3. Произведение в смысле Коши (99).
§ 8. Радиус сходимости 100
8.1. Лемма Абеля (100). 8.2. Радиус сходимости (101). 8.3. Дифференцирование и интегрирование рядов (101). 8.4. Доказательство непрерывности (102). 8.5. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов (103). Упражнения (104).
§ 9. Погрешности методов численного интегрирования 104 9.1. Оценка для правила трапеций (104). Упражнения (105). 9.2. Оценка для правила Симпсона (105). Упражнения (107). Задачи (107).
9. Векторы 111
§ 1. Векторная алгебра 112
1.1. Направленные отрезки (112). 1.2. Векторы (114). Упражнения (115). 1.3. Сложение векторов (115). 1.4. Доказательства законов сложения (116). 1.5. Произведение вектора на число (118). 1.6. Доказательства законов умножения вектора на число (119). Упражнения (121). 1.7. Векторы на плоскости и в пространстве (121). 1.8. Базисы и реперы на плоскости (121). 1.9. Координаты (123). Упражнения (124). 1.10. Упорядоченные пары чисел как векторы (124). Упражнения (125).
1.11. Произвольный базис. Независимость (125). Упражнения (126). 1.12. Базисы и реперы в пространстве (126). Упражнения (128).
§ 2. Радиус-вектор 128
2.1. Радиус-вектор точки (128). 2.2. Деление отрезка в данном отношении (130). Упражнения (131). 2.3. Векторные доказательства геометрических теорем (131). Упражнения (133). 2.4. Радиус-вектор в пространстве (134).
§ 3. Полярные координаты 135
3.1. Полярный угол вектора (135). 3.2. Полярные координаты (135). Упражнения (137). 3.3. Уравнения линий в полярных координатах (138). 3.4. Изображение кривых (139). Упражнения (140).
§ 4. Прямые и плоскости в пространстве 142
4.1. Формула деления (142). Упражнения (143).
4.2. Параметрическое представление прямой (143). Упражнения (145). 4.3. Уравнения плоскостей (145). Упражнения (148). 4.4. Параллельные плоскости (148). 4.5. Уравнения прямых (149). Упражнения (152). 4.6. Взаимное расположение прямых и плоскостей (152). Упражнения (154). 4.7. Сфера (155). Упражнения (156).
§ 5. Цилиндрические и сферические координаты 157
5.1. Цилиндрические координаты (157).
5.2. Поверхности вращения (159). Упражнения (160). 5.3. Сферические координаты (160). УпражненияПриложение к главе 9 163
§ 6. Скалярное произведение 163
6.1. Определение скалярного произведения (163). 6.2. Вычисление скалярного произведения (164). Упражнения (165). 6.3. Свойства скалярного произведения (165). 6.4. Применение свойств скалярного произведения (166). Упражнения (168). 6.5. Направляющие косинусы. Единичные векторы (168). 6.6. Угол между двумя прямыми (170). Упражнения (170). 6.7. Нормаль к плоскости. Угол между плоскостями (171). 6.8. Расстояние от точки до плоскости (172). 6,9. Расстояние от точки до прямой (173). Упражнения (173).
§ 7. n-мерные пространства 174
7.1. Пространство п-наборов (174). Упражнения (175). 7.2. Прямые и гиперплоскости (175). Упражнения (175). 7.3. n-мерное евклидово пространство (176). 7.4. Углы (176). Упражнения (177). Задачи (177). 10. Квадрики 179
§ 1. Коники 180
1.1. Конические сечения (180). 1.2. Канонические уравнения (182). 1.3. Асимптоты (184). 1.4. Фокусы и директрисы. Эксцентриситет (185). Упражнения (187). 1.5. Геометрические свойства коник (187). Упражнения (193). 1.6. Касательные (193). Упражнения (197). 1.7. Коники в полярных координатах (197). Упражнения (199). 1.8. Параметрические уравнения (200). Упражнения (202).
§ 2. Повороты 202
2.1. Отражения и повороты. Ориентация (202). Упражнения (205). 2.2. Замена системы координат (206). 2.3. Поворот осей координат (207). Упражнения (209). 2.4. Направленный угол между прямыми (209). Упражнения (211). 2.5. Биссектрисы угла (212). Упражнения (213). 2.6. «Зеркальные» свойства коник (213). Упражнения (215). 2.7. Ориентация в пространстве (215).
§ 3. Квадрики на плоскости 216
3.1. Алгебраические кривые (216). Упражнения (217). 3.2. Кривые второго порядка (218). 3.3. Дискриминант и след (218). 3.4. Основная теорема. Исключение смешанного члена (220). Упражнения (221). 3.5. Исключение линейных членов (222). Упражнения (223).
3.6. Положительный дискриминант (223).
3.7. Отрицательный дискриминант (224).
3.8. Нулевой дискриминант (225). Упражнения (228).
Приложение к главе 10 228
§ 4. Квадрики в пространстве 228
4.1. Поверхности второго порядка (228).
4.2. Вырожденные случав. Цилиндры (228).
4.3. Конусы (229). 4.4. Эллипсоид (230). 45. Гиперболоиды (232). 4.6. Параболоиды (232). Упражнения (233). 4.7. Линейчатые поверхности (235). Упражнения (236). 4.8. За» мена системы координат в пространстве (236). 4.9. Плоские сечения поверхностей второго порядка (237). 4.10. Вращения и отражения в пространстве (238). Упражнения (239). 4.11. Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду (239). Упражнения (241). Задачи (241).
11. Векторные функции скалярного аргумента
§ 1. Математический анализ векторных функций 244
1.1. Векторные функции скалярного аргумента (244). 1.2. Кинематическая интерпретация (244). 1.3. Координаты векторной функции (245). Упражнения (246). 1.4. Применение математического анализа к исследованию векторных функций (247). 1.5. Основные правила математического анализа (248). Упражнения (249). 1.6. Независимость от базиса (251). Упражнения (253).
§ 2. Ориентированные линии 253
2.1. Параметрическое представление (253).
2.2. Определение ориентированной линий (254). 2.3. Дуги кривой (255). Упражнения (257). 2.4. Непараметрическое представление (257). Упражнения (260). 2.5. Циклоида (261). Упражнения (262). 2.6. Формула площади в полярных координатах (262). Упражнения (265).
§ 3. Касательная, длина, кривизна 266
3.1. Гладкие кривые (266). 3.2. Непараметрическое представление (267). 3.3. Единичный касательный вектор (267). 3.4. Полярный угол касательного вектора (269). Упражнения (270). 3.5. Формулы в полярных координатах (270). Упражнения (272). 3.6. Единичный нормальный вектор (272). Упражнения (272). 3.7. Длина кривой (272). 3.8. Независимость от параметра (274). 3.9. Аддитивность (275). 3.10. Сравнение с прежней формулой длины (275). Упражнения (276). 3.11. Формула длины в полярных координатах (277). Упражнения (277). 3.12. Длина дуги как параметр (277). Упражнения (278). 3.13. Кривизна (279). 3.14. Знак кривизны (280). 3.15. Кривизна графиков (281). 3.16. Радиус кривизны. Окружность кривизны (282). Упражнения (283). 3.17. Кусочно-гладкие линии. Особые точки (283). 3.18. Пространственные кривые (284). Упражнения (284).
§ 4. Движение 285
4.1. Криволинейное движение (285). 4.2. Скорость и ускорение (285). 4.3. Вращательное движение (287). 4.4. Касательное и нормальное ускорения (288). Упражнения (291). 4.5. Закон движения (291). 4.6. Движение брошенного тела .(292). Упражнения (294).
4.7. Движение по заданной траектории (295).
4.8. Движение по наклонной плоскости (296).
4.9. Математический маятник (297). 4.10. Движение планет. Второй закон Кеплера (299).
4.11. Применение первого закона Кепле- : ра (301). 4.12. Применение третьего закон»
Кеплера (302). 4.13. Небесная механика (304). :
Упражнения (305). f-
1риложение к главе 11 306 v
§ 5. Движение по заданному пути 306 i
5.1. Решение уравнения (306). 5.2. Периодя- ':
ческое движение (307). 5.3. Круговой маят- ;
ник (309). 5.4. Циклоидальный маятник (310). ]
5.5. Несимметричные траектории и пружи- .;
: вы (311). Упражнения (311).
§ 6. Движение систем 6.1. Две взаимно притягивающиеся частицы (312). 6.2, Задача двух тел (313). Упражне-ч ния (314). 6.3. Третий закон Ньютона. Ли-> _ нейный импульс (314). 6.4. Центроид N частиц (315). Упражнения (316). 6.5. -Твердое те-.- ло (316). 6.6. Свойство аддитивности (316). &7. Положение центроида (317). 6.8. Свойство симметрии (317). Упражнения (318). Задачи (318).
12. Частные производные 321
г" § 1. Функции нескольких переменных 322
1.1. Функции двух переменных (322). Упражнения (323). 1.2. Интервалы (323). 1.3. Непрерывность (325). Упражнения (327). 1.4. Функции трех и большего числа переменных (327). Упражнения (328). 1.5. Предельные точки. Пределы (328). 1.6. Открытые множества. Границы (330). Упражнения (331). 1.7. Геометрическая и физическая интерпретации (331).
§ 2. Производные функций нескольких переменных 333
2.1. Частные производные (333). 2.2. Обозначения частных производных (335). Упражнения (335). 2.3. Дифференцируемые функции (336). 2.4. Касательная плоскость (337). 2.5. Частные производные дифференцируемой функции (337). 2.6. Непрерывно дифференцируемые функции (340). 2.7. Нормаль к поверхности (341). Упражнения (342). 2.8. Цепное правило для функций двух переменных (343). 2.9. Производная в заданном направлении (345). 2.10. Градиент (347). 2.11. Линии уровня (347). Упражнения (349). 2.12. Дифференцирование неявной функция (350). Упражнения (351). 2.13. Дифференцирование функций трех и большего числа переменных (351). 2.14. Цепное правило для функций любого числа переменных (353). 2.15. Градиент, производная в заданном направлении и поверхности уровня (354). Упражнения (356).
2.16. Функции с нулевым градиентом (356).
2.17. Дифференцирование под знаком интеграла (357). Упражнения (359).
| 3. Частные производные высших порядков 360
3.1. Вторые частные производные. Равенство смешанных производных (360). Упражнения (361). 3.2. Функции с заданными частными производными (361). Упражнения (366). 3.3. Высшие производные (367). Упражнения (368). 3.4. Критические точки (368). 3.5. Максимум и минимум (370). Упражнения (372). 3.6. Производные высших порядков для функций более чем двух переменных (372). Упражнения (373). 3.7. Функции с наперед заданным градиентом (373). Упражнения (375).
§ 4. Криволинейные интегралы 375
4.1. Определение и обозначения (375). Упражнения (377). 4.2. Независимость от параметра (377). 4.3. Свойства криволинейных интегралов (378). Упражнения (380). 4.4. Язык дифференциалов (381). Упражнения (382). 4.3. Независимость от пути (382). Упражне- . ння (386). 4.6. Гомотопные пути. Односвя-зные области (386). Упражнения (389).
'Приложение к главе 12 390
§ 5. Энергия при криволинейном движении 390 5.1. Векторные обозначения для криволиней-
ных интегралов (390). 5.2. Работа (391). Упражнения (393). 5.3. Потенциальная энергия. (393). Упражнения (394). 5.4. Сохранение энергия (394). Упражнения (395).
§ 6. Доказательства некоторых теорем о частных производных 6.1. Дифференцируемые функции (395). 6.2. Цепное правило (397). 6.3. Смешанные производные (398).
§ 7. Теорема Тейлора 399
7.1. Теорема Тейлора для функции двух переменных. Частные случаи (399). 7.2. Теорема Тейлора для функции двух переменных. Общий случай (401). 7.3. Классификация критических точек (403). 7.4. Теорема Тейлора для функции п переменных (405). Упражнения (407). Задачи (407)
13. Кратные интегралы 409
§ 1. Двойные интегралы 410
1.1. Двойной интеграл от неотрицательной функции по интервалу (410). 1.2. Двойной интеграл как повторный интеграл (411). 1.3. Функции, принимающие значения разных знаков (417). Упражнения (418). 1.4. Кусочно-непрерывные функции (419). Упражнения (420). 1.5. Аналитическое определение интеграла (420). 1.6. Свойства интеграла (421). 1.7. Ступенчатые функции (423). Упражнения (425). 1.8. Суммы Римана (425). Упражнения (426). 1.9. Двойной интеграл по произвольному множеству (427). 1.10. Свойства двойного интеграла в обшем случае (429). Упражнения (434). 1.11. Двойные интегралы в полярных координатах (435). Упражнения (438).
§ 2. Площадь поверхности 439
2.1. Площадь плоской области (439). 2.2. Площадь наклонной плоской области (440). 2.3. Формула площадей (442). Упражнения (444).
2.4. Поверхности вращения (445). Упражнения (447).
§ 3. Тройные интегралы 447
3.1. Кусочно-непрерывный функции (447).
3.2. Вычисление тройного интеграла (448). Упражнения (450). 3.3. Объем (450). Упражнения (451). 3.4. Интегрирование в цилиндрических координатах (451). Упражнения (453).
3.5. Тела вращения (454). Упражнения (455).
3.6. Интегрирование в сферических координатах (455). Упражнения (458). 3.7. Плотность (458). Упражнения (459). 3.8. Гравитационная сила (460). Упражнения (461). 3.9. Сферическая симметрия (462). Упражнения (464).
§ 4. Интегрирование функций п переменных 464
4.1. Подынтегральные функции и области интегрирования (464). 4.2. Вычисление интеграла (464). Упражнения (465). 4.3. Объем в n-мерном пространстве (466). Упражнения (467).
Приложение к главе 13 467
§ 5. Центроиды 5.1. Центроиды материальных тел, пластинок н струн (467). Упражнения (468). 5.2. Центроиды областей (469). 5.3. Координаты центроидов (469). Упражнения (470). 5.4. Аддитивность н симметрия (470). Упражнения (472). 5.6. Теоремы Паппа (473). Упражнения (475).
6.1. Формулировка теоремы (475). Упражнения (476). 6.2. Частные случаи (477). Упражнения (478). 6.3. Набросок доказательства (478). Упражнение (480). 6.4. Обобщение (480). Упражнения (481).
§ 7. Несобственные кратные интегралы 481 7.1. Неограниченные подынтегральные функции (481). Упражнения (483). 7.2. Интегрирование по неограниченным областям (484). Упражнения (485). 7.3. Важный пример (486). Упражнения (486).
§ 8. Несколько доказательств . 487
8.1. Полярные координаты (487). 8.2. Об определении площади (488). Задачи (489).
1.1. Верхний и нижний пределы (492).
1.2. Ограниченные последовательности (492). Упражнения ,(493). 1.3. Теорема Больцано — Вейерштрасса (493). Упражнение (494). 1.4. Критерий сходимости Коши (404). Упражнение (494). 1.5. Последовательности точек (494).
§ 2. Непрерывные функции
Цена: 300руб.
