доктор технических наук В. П. Дьяконов
ПРЕДИСЛОВИЕ
Решая численными методами уравнения при конкретных значениях параметров, когда результат невозможно получить в аналитическом виде, тем самым моделируя поведение реального физического объекта, часто представляется возможным не только описывать, но и предскэт-зывать новые явления. Уже не раз в науке бывало так, что при\ правильно выбранном алгоритме «странный» пик функции, полученный на ЭВМ, оказывался не ошибкой вычислений, а неизвестным ранее физическим эффектом. Именно этим и вызван большой интерес специалистов-физиков к численным методам с применением ЭВМ.
А между тем множество физических задач, с которыми приходится сталкиваться повседневно, приводят к решению уравнений невысокой степени сложности, которые решать на обычном микрокалькуляторе долго и утомительно, а привлечение огромных мощностей ЭВМ является нерациональным, поскольку отнимает дорогостоящее машинное время для решения тех задач, которые действительно в нем очень нуждаются. Экономя драгоценное время больших ЭВМ, освобождая человека от тяжкого бремени сравнительно небольших по объему ручных вычислений, будучи малыми по размеру и удобными в обращении, программируемые микрокалькуляторы позволяют выполнять вычисления по заданной программе прямо за рабочим столом исследователя. По легкости доступа к информации, простоте отладки, надежности в работе в самых неприхотливых условиях они значительно превосходят даже персональные компьютеры.
Данная книга содержит сведения о том, как реализовать все имеющиеся возможности программируемых микрокалькуляторов «Электроника БЗ-34», «Электроника МК-54», «Электроника МК-61», «Электроника МК-52» с максимальной отдачей для пользователя. Приведено большое количество рабочих программ, проверенных и удобных в эксплуатации. Ведь конечная цель программирования — максимально облегчить труд исследователя при проведении вычислений, а не сократить любой ценой количество операторов программы.
Описание работы каждой программы сопровождается комментариями, с помощью которых читатель, разобравшись в структуре программы, смог бы при необходимости изменить ее в нужном направлении, поскольку приведенные программы достаточно читабельны.
Многие пользователи относятся к программам, как к некоторому «черному ящику», совершенно не заглядывая во внутрь. Дело в том, что большинство численных методов счета стандартно и такое отношение к ним себя оправдывает. Но так бывает не всегда. К примеру, интегрируя степенную функцию методом Симпсона с некоторой погрешностью, пользователь забывает, что он мог бы методом Гаусса гораздо
быстрее получить точное значение интеграла. В связи с этим представилось необходимым более детально остановиться на качественных сторонах численных методов, чтобы читатель использовал наиболее подходящие для него программы. Приводятся данные об субтабулировании разреженных таблиц для быстрого получения высокой точности вычисляемых значений функций; о некоторых численных методах, недостаточно освещенных ранее, но очень удобных при работе на программируемых микрокалькуляторах. Материал книги не ограничен проблемами составления и описания программ, а предполагает решение более общей задачи: как использовать микрокалькуляторы квалифицированным образом. Насколько это удалось—судить читателю.
Хотя книга предназначена для научных работников, преподавателей и студентов физико-математических специальностей, она может оказаться полезной всем тем, кто имеет дело с точными математическими расчетами.
Автор выражает искреннюю благодарность доценту Брацыхину Владимиру Михайловичу, профессору Дьяконову Владимиру Пав-, ловичу, редактору Калининой Нине Евгеньевне за ценные предложения, пожелания, критические замечания, во многом способствовавшие улучшению содержания книги. Автор очень благодарен также всем тем, кто Проявил чуткость и внимание по отношению к нему и erOj рукописи'
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие........................ 3
Глава 1. Основы работы с микрокалькулятором...... 5
1. Общие сведения о микрокалькуляторах ......... 5
2. Простейшие вычисления на микрокалькуляторах .... 8
3. Порядок вычислений со стеком............ 11
4. Адресуемая память................. 14
5. Вычисления с использованием стековых и адресуемых регистров........................ 14
6. Процесс программирования.............. 20
7. Безусловные и условные переходы.......... 24
8. Циклы и косвенные операции............. 25
9. Подпрограммы.................... 31
,0. Отладка и редактирование программы......... 33
И. Способы записи программы.............. 36
|2. Оптимизация программ................ 38
13. Несколько слов о требованиях к тестам........ 40
Глава 2. Оценка ошибок вычислений............ 42
1. О погрешности вычислений.............. 42
2. Оценка погрешности эксперимента при помощи нормального распределения....................... 46
3. Является ли распределение нормальным?....... , 51
4. Распределение Стьюдента (Госсета)........... 53
5. Корреляционные связи и их оценка.......... 56
6. Сглаживание исследовательских данных эксперимента . . 60
Глава 3. Аппроксимация экспериментальных данных функциональными зависимостями ................ 63
1. Метод наименьших квадратов и простейшие виды аппроксимации ........................ 63
2. Полиномиальная аппроксимация высокого порядка ... 67
3. Приближение экспериментальных кривых двухпараметри-ческими зависимостями................ 73
4. Аппроксимация тригонометрическими функциями .... 84
5. Интерполяция по Лагранжу и Гауссу........-. 88
6. Многомерная интерполяция.............. 93
7. Примеры применения интерполяции .......... 98
; 8. Критерий значимости и метод х?............ 98
Глава 4. Построение графиков............... 102
1. Общие принципы построения графиков......... 102
2, Максимум и мийимум графика............. 104
269
3. Графики кусочно-непрерывных функций и функций со знаком модуля ........ ............ 105
4. Графики функций, заданных в параметрическом виде . . 108
5. Некоторые упрощенные способы построения графиков . . 110
6. Графики с функциональными шкалами ......... 112
7. Построение линий пересечения поверхностей ...... 122
Глава 5. Операции численного дифференцирования и интегрирования........,............., 123
1. Численное дифференцирование............. 123
2. Численное интегрирование таблиц функций....... 128
3. Интегрирование функций, заданных в аналитическом виде 132
4. Численное интегрирование аналитических функций методами Гаусса и Чебышева............... 133
5. Вычисление несобственных интегралов....... . . 138
6. Кратные интегралы.................. 143
7. Метод Монте-Карло.................. 149
8. Некоторые практические задачи ............ 152
Глава 6. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений 155
1. Сущность разностного метода решения уравнений .... 155
2. Устойчивость разностного метода............ 157
3. Разностные схемы для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка .............. 158
4. Реализация разностных схем для обыкновенных дифференциальных уравнений .................. 162
5. Метод Рунге — Кутта решения дифференциального уравнения ....... .................. 168
6. Примеры решения физических задач.......... 172
Глава 7. Решение уравнений в частных производных .... 175
1. Устойчивость численных схем для решения уравнений в частных производных................. 175
2. Явные консервативные методы для гиперболических уравнений............ ;............ 176
3; Методы, решения параболических уравнений...... 182
4. Графическое представление результатов счета при решении уравнений в частных производных........... 187
5, Задачи определения собственных значений дифференциальных уравнений.................... 190
Глава 8. Операции линейной алгебры........... 195
1. Вычисление определителей и решение систем линейных уравнений ........... ........... 195
2. Операции линейной алгебры.............. 200
3. Вычисление обратной матрицы............. 202
4. Блочные преобразования................ 204
5. Некоторые операции аналитической геометрии...... 207
Глава 9. Решение алгебраических задач.......... 210
1. Определение границ корней алгебраических многочленов 210
2. Нахождение корней нелинейных уравнений....... 215
3. Задачи на собственные значения............ 221
4. Отыскание минимума и максимума функции....... 222
5. Операции с комплексными числами........... 228
6. Кватернионы в задачах ориентации твердого тела .... 2^1
270
Глава 10. Вычисления с повышенной точностью...... 236
1. Выполнение арифметических операций......... 236
2. Вычисление значений функций при помощи рядов . . . '. 241
3. Итерации при вычислении функций .......... 244
4. Вычисление специальных функций........... 246
5. Преобразование периодических десятичных дробей к обыкновенным....................... 252
6. Вычисление постоянных Фейгенбаума.......... 253
7. Выполнение аналитических преобразований на микроЭВМ 255
Приложение........................ 258
Указатель программ..................... 262
Список литературы..................... 267
Цена: 150руб.
