0.1. Конечные суммы............................. 15
0.11. Прогрессии (35). 0.12. Суммы степеней натуральных чисел (15). 0.13. Суммы величин, обратных натуральным числам (56). 0.14. Суммы произведений величин, обратных натуральным числам (17). 0.15. Суммы биномиальных коэффициентов (17).
0.2. Числовые ряды и бесконечные произведения............... 19
0.21. Сходимость числовых рядов (19). 0.22. Признаки сходимости (19). 0.23—0.24. Примеры числовых рядов (20). 0.25. Бесконечные произве-. чия (25). 0.26. Примеры бесконечных произведений (25).
0.3. Функциональные ряды.......................... 26
0.30. Определения и теоремы (26). 0.31. Степенные ряды (27). 0.32. Тригонометрические ряды (29). 0.33. Асимптотические ряды (31). •
0.4. Некоторые формулы дифференциального исчисления........... 32
0.41. Дифференцирование определенного интеграла но параметру (32). 0.42. Производная n-го порядка от произведения (33). 0.43. Производная н-го порядка от сложной функции (33).
1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ.
1.1. Степени биномов............................. 35
1.11. Степенные ряды (35). 1.12. Ряды рациональных дробей (36).
1.2. Показательная функция.......................... 36
1.21. Представление в виде ряда (36). 1.22. Функциональные соотношения (37). 1.23. Ряды показательных функций (37).
1.3—1.4. Тригонометрические и гиперболические функции......... . 37
1.30. Введение (37). 1.31. Основные функциональные соотношения (38). 1.32. Выражение степеней тригонометрических и гиперболических функций через функции кратных аргументов (дуг) (39). 1.33. Выражение тригонометрических и гиперболических функций кратных аргументов (дуг) через степени этих функций (41). 1.34. Некоторые суммы тригонометрических и гиперболических функций (43). 1.35. Суммы степеней кратных дуг (44). 1.36. Суммы произведений тригонометрических функций кратных дуг (45). 1.37. Суммы тангенсов кратных дуг (46). 1.38. Суммы, приводящие к гиперболическим тангенсам и к гиперболическим котангенсам (46). 1.39. Представление косинусов и синусов кратных дуг в вида конечных произведений (47). 1.41. Разложение тригонометрических и гиперболических функций в степенные ряды (48). 1.42. Разложение на простейшие дро'.н (50). 1.43. Представление в виде бесконечного произведения (51). 1.44—1.45. Тригонометрические ряды (52). 1.46. Ряды произведений: показательных и тригонометрических функций (55). 1.47. Ряды гиперболических функций (56). 1.48. «Угол параллельности» Лобачевского \1(х) (56). 1.49. Гиперболическая амплитуда (гудерманиан) gdz (57),
1.5. Логарифмическая функция........................ 57
1.51. Представление в виде ряда (57). 1.52. Ряды логарифмических функций (60).
1.6. Обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции ... 60
1.61. Область определения (60). 1.62—1.63. Функциональные соотношения (60). 1.64. Представление в виде ряда (64).
2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.
2.0. Введение................................. 66
2.00. Замечания общего характера (66). 2.01. Основные интегралы (67). 2.02. Общие формулы (68).
2.1. Рациональные функции.......................... 69
2.10. Общие правила интегрирования (69). 2.11—2.13. Формы, содержа-: щие биномы a + bxk (71). 2.14. Формы, содержащие биномы 1±ж" (75). 2.15. Формы, содержащие пары биномов а+Ьх и а+ргс (79). 2.16. Формы, содержащие трехчлены а + bxk + схг;с (79). 2.17. Формы, содержащие квадратный трехчлен а -f Ъх -f ex2 и степени х (80). 2.18. Формы, содержащие квадратный трехчлен а + Ъх -\- схг и бином a+fte (82).
2.2. Алгебраические функции.........................• 83
2.20. Введение (83). 2.21. Формы, содержащие бином a + bxk и У х (83). 2.22—2.23. Формы, содержащие 'Y (a+ Ьх)к (85). 2.24. Формы, содержащие l/a + ia; и биком а + (5ж (87). 2.25. Формы, содержащие \fa+'bx + cx? (91). 2.26. Формы, содержащие Уа + Ьх + сх* и целые степени х (9Д). 2.27. Формы, содержащие У а + схг т целые степени х (97). 2.28. Формы, содержащие J/ a -f Ъх + сх" и многочлены первой и второй степени (100). 2.29. Интегралы, приводящиеся к эллиптическим и псевдоэллиптическим (101).
2.3. Показательная функция. Гиперболические функции ............... 103
2.31. Формы, содержащие еах (103). 2.32. Показательная и рациональные
tynKUHK от х (103). 2.33. Формы, содержащие sh х и сЪх (104). .34. Формы, содержащие tha; и etna: (105). 2.35. Гиперболические функции и степени х (105).
2.4—2.5. Тригонометрические функции.................... 106
2.40. Введение (106). 2.41—2.42. Степени синуса и косинуса (106).
2.43. Степени тангенса и котангенса (112). 2.44. Синусы и косинусы крат- :
ных дуг (112). 2.45. Рациональные функции от синусов и косинусов (116).
2.46. Алгебраические функции от тангенса (120). 2.47—2.48. Интегралы,
приводящие к эллиптическим и псевдоэллиптическим (121). 2.49. Синусы
и косинусы логарифмов (127). 2.51. Формы, содержащие хт sin" х
и хт -cos"x (т > 0, и > 0) (127). 2.52. Формы, содержащие х"1 sin" х
и хт cosnx (т < 0, п > 0) (129). 2.53. Формы, содержащие хт sin" х
и хт cosnx (т>0, п < 0) (130). 2.54. Рациональные функции от sin х, '•
cosxnx (132). 2.55. Тригонометрические и показательная функции (132).
2.6. Логарифмическая функция. Функции, обратные гиперболическим ..... 133
2.61. Логарифмическая функция (133). 2.62—2.63. Логарифмическая и степенная функция (134). 2.64. Обратные гиперболические функции (136).
2.7. Обратные тригонометрические функции.................. 1.47
2.7J. Арксинус и арккосинус (137). 2.72. Арксеканс и арккосеканс, арктангенс и арккотангенс (137). 2.73. Арксинус, арккосинус и алгебраическая функция (138). 2.74. Арксеканс, арккосеканс и степени х (139), 2.75. Арктангенс, арккотангенс и степенная функция (139).
.2.8. Специальные функции............................ 140
2.81. Эллиптические функции Якоби (140). 2.82. Полные эллиптические интегралы (142). 2.83. Эллиптические функции Вейерштрасса (142). 2.84. Интегральный сииус и интегральный косинус (143). 2.85. Цилиндрические функции (143).
3. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ.
3.0. Введение....................................... 144
3.01. Теоремы общего характера (144). 3.02. Замена переменного в
определенном интеграле (145). 3.03. Формулы общего 'характера (146).
3.04. Несобственные интегралы (148). 3.05. Главные значения несобственных
интегралов (149).
t
3.1. Степенные и алгебраические функции................... 150
3.11. Рациональные функции (150). 3.12. Корни квадратные из многочленов 1-й и 2-й степени (1501. 3.13. Корни квадратные из многочленов 3-й степени (151). 3.14. Корни квадратные из многочленов 4-й степени (153). 3.15—3.18. Степени х и биномов а + jk (158). 3.19. Степени многочленов и степенных функций (161).
3.2. Показательная функция ......................... 162
3.21. Показательная функция (162). 3.22. Многочлены от е*х и степенная функция (164). 3.23—3.24. Рациональная функция от ерх и степенная функция (166). 3.25. Алгебраическая функция от ерх и степенная функция (168). 3.26. Степени двухчленен вида ае?х + $е*х и степенная функция (168). 3.27—3.29. Показательная функция от сложных аргументов и степенная функция (169).
3.3. Гиперболические функции......................... 170
3.31. Гиперболические функции (170). 3.32. Гиперболические и степенные функции (171). 3.33. Гиперболические и показательная функции (173). 3.34. Гиперболические, показательная и степенная функции (174).
3.4—3.5. Тригонометрические функции.................... 174
3.41. Алгебраические функции от sin ж, cos x и tg x (174). 3.42—3.43. Степени sin ж, cos ж и Ц ж (175). 3.44. Тригонометрические функции двойного угла (180) 3.45. Тригонометрические функции кратных дуг (181). 3.46. Тригонометрические функции от степени х (183). 3.47. Тригонометрические функции от гиперболических функций (183). 3.48. Тригонометрические функции от тригонометрических функций (184). 3.49. Тригонометрические функции от обратных тригонометрических функций (185). 3.51—3.55. Тригонометрические и степенные функции (185). 3.56. Тригонометрические и показательная функции (199). 3.57. Тригонометрические, показательная и степенная функции (202). 3.58. Тригонометрические и гиперболические функции (204). 3.59. Тригонометрические, гиперболические и алгебраические функции (206).
З.С—3.7. Логарифмическая функция..................... 206
3.61. Логарифмическая функция (206). 3.62—3.65. In» и степенная функции (209). 3.66—3.67. Логарифмы многочлена и степенная функция (215). 3.68—3.69. Логарифмы более сложных аргументов и степенная функция (221). 3.71. Логарифмическая и показательная функции (222). 3.*72. Логарифмическая, показательная и степенная функции (223). 3.73. Логарифмическая и гиперболические функции (223). 3.74. Логарифмическая, гиперболические и степенная функции (224). 3.75—3.77. Логарифмическая н тригонометрические функции (224). 3.78. Логарифмическая, тригонометрические и рациональная функции (232). 3.79. Логарифмическая, тригонометрические и гиперболические функции (232).
3.8. Обратные тригонометрические функции ................. 233
3.81. Обратные тригонометрические функции (233). 3.82. Арксинус, арккосинус и степенная функция (233). 3.83. Арктангенс, арккотангенс и степенная функция (235). 3.84. Арктангенс, арккотангенс и пока-рательная функция (238). 3.85. Арктангенс и гиперболическая функция (238). 3.86. Обратные и прямые тригонометрические функции (238).
3.87. Обратная и прямая тригонометрические и степенная функции (240).
3.88. Обратные тригонометрические и логарифмическая функции (240).
3.9. Кратные интегралы........................... 24®
3.90. Замена неременных в кратных интегралах (240). 3.91. Перемена порядка интегрирования (241). 3.92. Двойные и тройные интегралы с постоянными пределами (244). 3.93—3.94. Многократные интегралы (246).
4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ.
4.1. Эллиптические интегралы.............:........... 251
4.11. Формы, содержащие F (x, ft) (251). 4.12. Формы, содержащие Е (х, k) (251). 4.13. Полные эллиптические интегралы (252).
4.2. Интегральная показательная функция и родственные eii функции .... 252
4.21. Интегральный логарифм (252). 4.22. Интегральная показательная функция (252). 4.23. Интегральный синус и интегральный косинус (253). 4.24. Интеграл вероятности (255). 4.25."Интегралы Френеля (255).
4.3. Эйлеровы интегралы и родственные им функции............. 256
4.31. Гамма-функция (256). 4.32. Логарифм гамма-функции (257). 4.33. Функция А(.т) (257).
4.4. Цилиндрические функции......................... 258
4.40. Цилиндрические функции (258). 4.41. Цилиндрнчоскпо функции и степенная функция (259). 4.42. Цилиндрические функции и покаватель-ная функция (2G3). 4.43. Цилиндрические, показательная и степенная функции (265). 4.44. Цилиндрические и гиперболические функции (267). 4.45. Цилиндрические и тригонометрические фуькции (?G8). 4.46. Цилиндрические, тригонометрические п стеленная функции (270). 4.47. Цилиндрические функции, логарифм и арктангенс (271). 4.48. Цилиндрические функции, интегральный синус и т. п. (272). 4.49. Интегрирование цилиндрических функции по индексу (272).
4.5. Шаровые (сферические) функции..................... 27>3
4.51. Шаровые функции (273). 4.52. Полиномы Лежапдра (27i)
4.6. Многочлены С? («)............................ 276
4.7. Ортогональные полиномы......................... 276
4.71. Полиномы Чебышева (27G). 4.72. Полиномы Эрмита (277). 4.73. Полиномы Якоби (277)'. 4.74. Полиномы Лагерра (277).
4.8. Вырожденные гипергеомстрпческие функции............... 277
4.81. Функции Уиттекера (277). 4.82. Функции параболического цнлнн-дра (278).
4.9. Интегрирование косинусов от многочленов Ta(t, x) ........... 278
5. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ИХ ОБРАЩЕНИЕ.
5.0. Введение................................. 279
5.1. Преобразование Фурье.......................... 279
5.2. Преобразование Лапласа......................... 285
5.3. Преобразование Ганкеля......................... 300
6—7. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ.
6.1. Эллиптические интегралы н функции.................. 302
6.11. Эллиптические интегралы (302). 6.12. Функциональные отношения между эллиптическими интегралами (305). 6.13. Эллиптические функции (306). 6.14. Эллиптические функции Пкобн (307). 6.15. Свойства эллиптических функций Якоби и функциональные соотношения между ними (312). 6.16. Функция Вейерштрасса $ (и) (315). 6.17. Функции ? (и) и о (и) (317). G.18—6.19. Тэта-функции (318).
6.2. Интегральная показательная функция и родственные ей функции .... 322
6.21. Интегральный логарифм и интегральная показательная функция: li (x) и Ei (x) (322). 6.22. Интегральный синус и интегральный косинус: si (x) и ci (x) (325). 6.23. Интеграл вероятности и интегралы Френеля: Ф(ж), S (х) к С (х) (326). 6.24. Функция Лобачевского L (х) (328).
6.8. Эйлеровы интегралы 1-го и 2-го рода и родственные им функции .... 329 6.31. Гамма-функция (эйлеров интеграл 2-го рода): Г (х) (329), 6.32. Представление гамма-функций в виде рядов и произведений (331). 6.33. Функциональные соотношения для гамма-функций (332). 6.34. Логарифм гамма-функции In Г (х) (334). 6.35. Пси-функция: у (х) = -тг In Г (х) (335). 6.36. Эйлерова
постоянная С (338). 6.37. Бэта-функция (эйлеров интеграл 1-го рода): В (х, у) (339). 6.38. Функциональные соотношения для бэта-функции (341).
6.39. Функция р (х) (342). ........ . .
6.4—6.5. Цилиндрические функции ...'..'.*.'............... 343
6.40. Определения (343). 6.41. Интегральные представления функций /р (г) (344). 6.42. Интегральные представления функции Nf (z) (346). 6.43. Интегральные представления функций i/^ (z) и Н^ (z) (347). 6.44. И^теградь-ные представления функций /р (z) и Кр (z) (350). 6.45. Представление в виде ряда (352). 6.46. Асимптотические разложения цилиндрических функций (353). 6.47. Цилиндрические функции, индекс которых равен целому числу плюс одна вторая (357). 6.48—6.49. Функциональные соотношения (359). 6.51. Дифференциальные уравнения, приводящие к цилиндрическим функциям (362). 6.52—6.53. Ряды бесселевых функций (364).
6.54. Разложение по произведениям цилиндрических функций , (370).
6.55. Корин цилиндрических функций (371). 6.56. Функции Томсона и'их обобщения: berp(z), beip(z), herp(2), heip (z), ker (г), kei (z) (372).
G.(i. Функции Матье.............................. 374
6.60. Определение (374). 6.61. Решение в виде тригонометрического ряда (374). 6.62. Периодические функции Матье (375). 6.63. Функции Матье с чисто мнимым аргументом (376).
6.7—6.8. Шаровые (сферические) функции................... 378
6.70. Введение (378). 6.71. Интегральные представления (380). 6.72. Асимптотические ряды для больших \р\ (382). 6.73—6.74. Функциональные соотношения (384). 6.75. Частные случаи и частные значения (387). 6.76. Производные по индексу (388). 6.77. Представление в виде ряда (389). 6.78. Нули шаровых функций (391). 6.79. Ряды шаровых функций (392). 6.81. Полиномы Лежандра (393). 6.82. Ряды полиномов Лежандра (396). 6„83. Шаровые функции (присоединенные функции Лежандра с целочисленными индексами (398). 6.84—6.85. Функции'Лежандра (400). 6.86. Функции конуса (404). 6.87. Функции тора (или кольца) (405).
6.9. Многочлены С? («)........................... 406
6.90. Определение (406). 6.91. Интегральное представление (''07). 6.92.
Функциональные соотношения (407). 6.93. Производные (407). 6.94. Связь
с другими функциями (408). 6.95. Частные случаи и частные значения (408).
6.96. Дифференциальное уравнение, приводящее к многочленам CJ| (t) (408). 7.1. Ортогональные полиномы........................ 408
7.10. Введение (408). 7.11. Полиномы Чебышева Тп (х) nUn(x) (410).
7.12. Полиномы Эрмита Нп (х) (411). 7.13. Полиномы Якоби Gn (p, q; х) (413).
7.14. Полиномы Лагерра (414). l.'l. Гипергеометрические функции...................... 415
7.20. Определение (415). 7.21. Интегральные представления (416). 7.22. Представление элементарных функций с помощью гипергеометрической функции (416). 7.23. Формулы преобразования и аналитическое продолжение для функций, определяемых гипергеометрическими рядами (418). 7.24. Обобщенный гипергеометрический ряд: (421). 7.25. Гипергеометрическое дифференциальное уравнение (421). 7/26. Дифференциальное уравнение Римана (424). 7.27. Запись некоторых дифференциальных уравнений второго порядка с помощью схемы Римана (427).
7.3. Нырожденная гипергеометрическая функция................ 428
7.30. Введение (428). 7.31. Функция ,Р].(а;т;г) (428). 7.32—7.33. Функции Уиттекера AfA)lll (z) и WAfll (z) (430). 7.34—7.35. Функции параболического цилиндра Dp (z) (<Ш).
7.4. Дзета-функция Римана: Z(z, q) и ?(z)................... f,37
7.41. Определение и интегральные представления (437). 7.42. Представление в виде ряда или бесконечного произведения (438). 7.43. Функциональные соотношения (439). 7.44. Особые точки и нули (439).
7.5. Числа и полиномы Бернулли........................ 440
7.51. Числа Бернулли (440). 7.52. Полиномы Бернулли (441). 7.53. Числа Эйлера (442).
Цена: 500руб.
