Почему люди любят головоломки? Здесь, по-видимому, много причин. И чисто спортивный интерес — острое желание вступить в борьбу с неведомым, как правило, изобретателем умной игрушки, постичь ее молчаливую мудрость, разгадать спрятанный в ней секрет, подчинить ее себе. И эстетический компонент — восхищение изяществом замысла хорошей головоломки и глубиной заложенных в нее математических идей. И простое желание развлечься и провести время.
Традиционно головоломки относятся к занимательной математике не только потому, что в основе почти любой головоломки лежит некий математический замысел — такие головоломки и называются математическими,— но также и потому, что решение головоломки по своему духу очень близко к решению математических проблем. Знаменитейшая головоломка нашего времени — кубик Руби-ка — начала свое победное шествие по свету с 1978 года, когда с ней впервые ознакомились математики на Международном математическом конгрессе в Хельсинки. Лишь несколько кубиков увезли математики с конгресса, но это стало начальным толчком лавинного распространения игрушки по всему миру.
Название лежащей перед читателем книжки «Математические головоломки» шире ее содержания — в ней рассматриваются математические головоломки одного вполне определенного вида, которые можно назвать механиков математическими комбинаторными головоломками. Ставить это в упрек нельзя: область всех математических головоломок столь же безбрежна, как и сама математика, а ограничение комбинаторными головоломками дало книге определенное единство и вместе с тем позволило включить в нее впервые собранный обширнейший материал. Книга не повторяет своих иноязычных собратьев, содержит много оригинальных задач и, что, быть может, еще важнее, оригинальных решений.
Книги по занимательной математике никогда не залеживаются на прилавках — спрос на них устойчиво превышает тиражи. Нет сомнения, что «Математические головоломки» не нарушат этой традиции.
М. М. ПОСТНИКОВ, профессор, доктор физико-математических наук, лауреат Ленинской премии
О ЧЕМ ЭТА КНИГА
Из всех известных нам книг наиболее длинное название имеет книга, в которой, как и в нашей, рассказывается о головоломках. Это название вы прочтете в самом начале второй главы, оно состоит из 53 слов. В названии нашей книги только два слова, да и то первое из них, пожалуй, можно было бы убрать. Ведь любая головоломка в некотором смысле математическая, ибо для ее решения нужны такие качества, как умение мыслить абстрактно и логично, перебирать и держать в памяти большое число вариантов, пространственное воображение и просто богатая фантазия, т. е. все то, что принято считать математическими способностями. И все же слово «математические» .попало на обложку не случайно. Ломая голову над игрушками, которые мы отобрали для этой книги, вы осознанно или нет решаете самые настоящие математические задачи. Причем не из той школьной математики, которая у многих вызывает, увы, не очень приятные чувства, а из раздела алгебры, изучающего так называемые группы перестановок. Впрочем, само понятие «группа» нам не потребуется: если рассказы о головоломках пробудят в вас желание более глубоко и систематически познакомиться с теорией групп, чему мы будем только рады, рекомендуем обратиться к книге П. С. Александрова «Введение в теорию групп» (М.: Наука, 1980).
Многообразие математических головоломок удивительно: только в коллекции одного из авторов их без малого тысяча. Даже кратко рассказать обо всех в одной книге невозможно. Мы взяли только один тип головоломок — перестановочные, или комбинаторные. Наиболее известны из них игра «15» и кубик Рубика, которые наверняка найдутся почти в любом доме, где есть дети. Широко распространены и такие их собратья, как «волшебные кольца», «варикон», «волшебная пирамидка». • Что же их объединяет?
Главное в них — набор подвижных элементов одинаковой формы и размеров, которые могут занимать строго определенные места на головоломке и переводиться с места на место по строго определенным правилам. Подвижными элементами могут быть разноцветные шарики, кубики с картинками, фишки с буквами или цифрами, пирамидки и т. д. «Места» (гнезда, ячейки, лунки)для элементов задаются устройством головоломки — это может быть всего лишь расчерченный лист бумаги или коробочка, а может быть хитроумный шарнирный механизм. Конструкция механизма позволяет поворачивать или сдвигать некоторые группы элементов, каждое такое передвижение будем называть ходом. Ходы могут описываться и просто словесными правилами. Наконец, выделено некое стандартное правильное расположение элементов. Обычно вы приобретаете головоломку в «собранном», правильном виде. Несколькими ходами элементы перепутываются — и перед вами встает проблема: вернуться к правильному расположению. Это и есть основная задача перестановочных головоломок.
Еще более общая задача — научиться переходить от одного заданного расположения к другому и вообще выяснить, когда это возможно. Кстати, второе не менее важно, чем первое. Когда журналы «Квант» и «Наука и жизнь» опубликовали алгоритмы сборки кубика Рубика, в редакции поступили письма от некоторых читателей, жаловавшихся на то, что они никак не могут собрать кубик по этим алгоритмам: то ли один маленький кубик остается повернутым, то ли какие-то два никак не удается поменять местами. Эти читатели не были знакомы с математикой кубика и не подозревали, что над ними подшутил какой-то злоумышленник, разбиравший кубик или переклеивший цветные наклейки так, что возвращение к исходному состоянию стало невозможным.
В некоторых головоломках (скажем, в игре «15») легко определить, куда какой элемент нужно ставить. А главный вопрос: как это сделать? В других надо еще догадаться, куда ставить элементы, чтобы получилось правильное расположение (пример — минус-кубики). А есть головоломки, пока немногочисленные, в которых сначала надо определить сорта элементов (поляроид). Короче говоря, уже одни перестановочные головоломки столь разнообразны, что книгу пришлось разбить на два выпуска. В первый вошли преимущественно те голово-
ломки, элементы которых, как в игре «15», могут располагаться в каждом гнезде одним-единственным способом, так сказать, чисто перестановочные. Во второй — головоломки типа кубика Рубика. Их элементы можно поворачивать на месте, так что правильное расположение определяется не только расстановкой элементов, но и их ориентацией в каждой ячейке.
Мы старались сделать книгу полезной для разных категорий читателей. В разделах, озаглавленных названиями головоломок, рассказывается об истории их изобретения, конструкции, даются рекомендации по их изготовлению в домашних условиях. Эти разделы можно читать независимо друг от друга. Найти интересующую вас головоломку поможет указатель в конце книги. К сожалению, фантазия изготовителей головоломок зачастую не идет дальше названий «головоломка механическая» или «игра логическая», так что многие названия мы придумывали сами.
Для тех, кто хочет узнать, как решить неподдающуюся головоломку, в большинстве случаев приводятся краткие указания, а для головоломок, которые нетрудно приобрести или смастерить,—: более подробные алгоритмы решения. Здесь вам могут встретиться незнакомые обозначения и термины, чаще всего коммутатор, транспозиция, цикл, сопряжение, четность перестановки. Как правило, их смысл можно понять из контекста и рисунков, но все же мы бы посоветовали изучить разделы «Три ключа к перестановочным головоломкам» и «Знаменитая головоломка Сэма Лойда», где объясняются эти термины. Все математические термины и обозначения тоже перечислены в специальном указателе.
За рубежом издана масса книг о перестановочных головоломках. Однако авторы этих книг обычно ограничиваются конкретными рецептами решения конкретных головоломок. Пожалуй, наиболее близка к нашей книга болгарского математика Д. Вакарелова «Игра и математика». Нам кажется, что полностью раскрыть секрет головоломки — все равно, что сообщить заядлому болельщику счет футбольной игры перед ее показом по телевидению. И главным для нас было рассказать не о том, как решить ту или иную головоломку, а о том, как решать перестановочные головоломки вообще. Этой цели посвящены многие разделы первых двух глав, в особенности упомянутый раздел о «трех ключах», эта цель определяла
б
и выбор алгоритмов в других главах. Освоив общие принципы, вы можете к каждой головоломке искать индивидуальный подход, который всегда дает более изящные и короткие решения.
Есть еще одна, категория читателей, на которую мы рассчитываем. Это те, кто преподает и изучает математику в основном на уровне специализированных математических школ и классов. Головоломки дают разнообразный материал для упражнений на перестановки (в книге есть раздел, так и озаглавленный «Перестановки», посвященный элементарному введению в эту область алгебры). Есть такие упражнения и среди включенных нами в текст задач. Другие задачи посвящены комбинаторике головоломок, более полному их изучению. Решения задач, отмеченных звездочкой, нам не известны, хотя это и не значит, что эти задачи наиболее трудны. Такие задачи преподаватель может предложить ученикам в качестве тем для небольших самостоятельных исследований.
Подобные исследования неоднократно и с успехом предпринимались учащимися специализированной физико-математической школы-интерната при МГУ имени академика А. Н. Колмогорова. В значительной степени наша книжка сочинялась по выходным дням в стенах этой школы, и более всего нам хотелось, чтобы она отвечала стремлению Андрея Николаевича разнообразить преподавание математики, сделать его увлекательным.
СОДЕРЖАНИЕ
Глава 1
Глава 2
Глава 3.
Глава 4
Глава 5.
Глава 6.
Указате/ Ука{игол
Предисловие 3
О чем эта книга 4
Картинки на кубиках 8
Игра первая — перестановки рядов 8
Игра вторая — вращения рядов 16
Игры третья, четвертая,...27
Три ключа к перестановочным головоломкам 33
Игры с дыркой 43
Знаменитая головоломка Сэма Лойда 43.
Перестановки 52
Путешествия по графам 60
Минус-кубики и минус-шарики 76
Волшебные кольца 84
Возвращение к пройденному 84
Пересекающиеся кольца . 90
Суперкольца 95
Перекатыши 101
Волшебные пирамидки 101
Симметрия 105
Многоэтажные головоломки 107
Головоломки-башни 107
Решетчатые головоломки 119
Чертова бочка 126 Калейдоскоп 134 ь специальных терминов 143 ь головоломок 143
На\чно-популярное издание
Цена: 100руб.
