Предлагаемая вниманию читателя книга представляет собой сборник задач по геометрии, базирующийся на переведенной у нас ранее и широко известной книге «Геометрия» (в двух томах) известного французского геометра, в настоящее время директора Института высших научных исследований, профессора М. Берже. В итоге советский читатель получает учебно-методический комплекс, состоящий из учебника и задачника для университетов и институтов. Французская математическая школа традиционно уделяла большое внимание проблемам преподавания геометрии, и далеко не все ее представители недавнего прошлого разделяли новомодную точку зрения о необходимости потеснить геометрию в учебных планах университетов и других институтов. Такие действия были осуществлены в ряде университетов мира и, к сожалению, те же тенденции просматриваются и в СССР. Между тем геометрия была, остается и будет оставаться краеугольным камнем полнокровного математического образования как в школах, так и в университетах и институтах. Конечно, при этом изложение ее нуждается в модернизации, отвечающей запросам сегодняшнего дня, без потери, однако, геометрического содержания.
Книга и задачник профессора Берже демонстрируют современный подход к геометрии, наполняя ее изложение «новым синтетизмом». Достаточно, например, отметить возврат автора к многочисленным иллюстрациям, почти исчезнувшим в трактатах новейшего времени по геометрии. Книга и задачник возникли в результате многолетней преподавательской деятельности автора в Парижском университете в процессе подготовки студентов к специальной учительской степени. Не останавливаясь на анализе текста учебника «Геометрия», что сделано в предисловии его русскому переводу, отметим некоторые методические особенности Данного задачника.
словия задач собраны в первой части, разделенной на двад-ч ь глав, как и в учебнике, и с такими же заглавиями. Вторая в тг>Ь С0,5еРжит краткие указания (подсказки) к решению задач, Ретьей части приводятся подробные решения.
Приводимые в начале каждой главы задачника основные определения и результаты делают его относительно независимым от соответствующего курса «Геометрия» и предоставляют некоторую свободу в его использовании. Читатель, знакомый с основными понятиями геометрии, может сначала подумать над решениями задач, а потом расширить свои познания с помощью учебника.
Важным достоинством задачника является наличие в нем двух уровней помощи: кратких подсказок к решению и подробных решений. Указанное обстоятельство чрезвычайно важно в плане самостоятельной работы над материалом. Традиционный по содержанию материал дается в новом оформлении, при этом упор делается на его геометрическое содержание. Задачник насыщен прекрасно выполненными диаграммами и чертежами (224 иллюстрации), что способствует лучшему восприятию материала.
Многочисленные ссылки на текст курса геометрии профессора Берже и специальную научную литературу помогут более углубленно рассмотреть изучаемые вопросы.
Куре геометрии профессора Берже и сборник задач образуют единый учебно-методический комплекс, представляющий собой ценное пособие для студентов, аспирантов и преподавателей высшей школы, да и для всех истинных ценителей геометрии. Ознакомление советской математической общественности с передовым зарубежным опытом преподавания математики особенно полезно в связи с происходящей сейчас перестройкой нашей вьк> шей и средней школы.
Распределение работы по переводу книги было таким: гл. 1, 3 и 9—13 переведены П. О. Михеевым, гл. 2, 4—8 — Л. В. Сбит-невой, гл. 14—20 — В. В. Трофимовым.
Л. В. Сабинин
ПРЕДИСЛОВИЕ
Книга «Геометрия», опубликованная по-французски в пяти томах издательством CEDIC/Fernand Nathan '>, была встречена благожелательно. В то же время некоторые читатели нашли текст слишком сжатым, а упражнения в конце каждой главы слишком трудными, и сожалели об отсутствии каких-либо указаний к их решению.
Данная книга предназначена для того, чтобы по крайней мере частично удовлетворить наших критиков. Что касается первого упрека, то объем «Геометрии» (ссылки на нее в дальнейшем мы будем отмечать символом [В]) и широта охваченного в ней материала не позволяли и думать об издании какого-то более подробного изложения. Напротив, подробное решение некоторых упражнений из [В] будет, как нам кажется, полезным и приятным нашим читателям.
Данная книга устроена следующим образом. Мы хотели сделать ее в какой-то мере независимой от [В], и потому для каждой из двадцати глав [В] собрали на нескольких страницах и под теми же заголовками наиболее важные понятия и результаты, используемые при решении задач. Формулировки задач приведены в конце каждой главы. Задачи занумерованы по порядку, но со ссылками на то место в [В], откуда они взяты (таким образом, эти ссылки не являются указанием к решению). В тексте тоже мы часто ссылаемся на [В].
Далее идет специальный раздел «Указания» к решению задач; они могут служить промежуточным звеном между вашим собственным и нашим решением.
Самую содержательную последнюю часть этой книги составляют подробные решения всех задач. Так же как ив [В], мы старались привести как можно больше иллюстраций. В разделе
ешения» ссылки делались как на [В], так и на другие разделы данной книги.
Марсель Берже
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода ............. , 5
Предисловие ,........ ,............. 7
Глава 1. Группы, действующие на множестве: терминология, примеры,
приложения......, ¦ ,........... 8
Задачи . . . , ,.................. 16
Глава 2. Аффинные пространства , . . ,........... 18
Задачи....................... 23
Глава 3. Барицентры. Универсальное пространство........ 26
Задачи . ...................... 29
Глава 4. Проективные пространства . ,..........'. . 31
Задачи . ,..................... 35
Глава 5. Аффинно-проективные связи; приложения......... 38
Задачи....................... 41
Глава 6. Проективные прямые, двойное отношение, томографии ... 43
Задачи . ,..................... 46
Глава 7. Комплексификация ...,..,.......... 48
Задачи....................... 50
Глава 8. Еще об евклидовых векторных пространствах...... 51
Задачи....................... 56
Глава 9. Евклидовы аффинные пространства.....'...... 59
Задачи....................... 64
Глава 10. Треугольники, сферы и окружности.......... 66
. Задачи....... ............-..• "О
Глава 11. Выпуклые множества , , , . ,.......... ^*
Задачи ........ ............... '
77
Глава 12. Многогранники, выпуклые компакты.......... ''
Задачи........,..............
82
Глава 13. Квадратичные формы................ „а
Задачи .......................
87
Глава 14. Проективные квадрики............... „,
Задачи .......................
94
Глава 15. Аффинные квадрики ,............... дЗ
Задачи......................'
Глава 16. Проективные коники................ «08
Задачи ......................
Оглавление 301
Глава 17. Евклидовы коники ,................Ш
Задачи....., ,................113
Глава 18. Внутренняя геометрия сферы.............115
Задачи.......................119
Глава 19. Эллиптическая и гиперболическая геометрии......123
Задачи.......................127
Глава 20. Пространство сфер............,,-, 129
Задачи......................'.132
Указания........., ,.....>....., . . . 133
Решения.........................142
Глава 1......................142
Глава 2......................154
Глава 3.....................163
Глава 4......................170
Глава 5......................179
Глава 6..................... . 183
Глава 7......................191
Глава 8......................192
Глава 9 ......................200
Глава 10.....................208
Глава 11.....................224
Глава 12.....................230
Глава 13 ..... ,...............241
Глава 14 . . ,...................245
Глава 15......................250
Глава 16......................258
Глава 17......................266
Глава 18 .....................272
Глава 19......................279
Глава 20......................288
Указатель терминов.....................292
Цена: 150руб.
