Предисловие.......•'..................... 5
Глава I. Линейное пространство............... 7
§ 1. Понятие линейного пространства............ 7
§ 2. Линейная зависимость векторов............. 10
§ 3. Размерность и базис линейного пространства..... 14
§ 4. Прямоугольный базис в трехмерном пространстве.
Скалярное произведение векторов............ 19
§ 5. Векторное и смешанное произведения векторов .... 25 § 6. Преобразования ортонормированного базиса. Основная
задача тензорного исчисления .............. 32
§ 7. Некоторые вопросы аналитической геометрии в пространстве ........................... 41
Глава II. Полилинейные формы и тензоры ......... 51
§ 1. Линейные формы....... . ."............ 51
§ 2. Билинейные формы.................... 54
§ 3. Полилинейные формы. Общее определение тензора . . 58
§ 4. Алгебраические операции над тензорами . ....... 65
§ 5. Симметричные и антисимметричные тензоры...... 71
Глава 111. Линейные преобразования векторного пространства и тензоры второй валентности..... 83
§ 1. Линейные преобразования................ 83
§ 2. Матрица линейного преобразования........... 88
§ 3. Определитель матрицы линейного преобразования. Ранг
матрицы .......................... 95
§ 4. Линейные преобразования и билинейные формы .... 100 § 5. Умножение линейных преобразований и умножение
матриц........................... 111
§ 6. Обратное линейное преобразование и обратная матрица ...............'............. 119
§ 7. Группа линейных преобразований и ее подгруйпы . . 124
Глава IV. Приведение к простейшему виду матрицы линейного преобразования . ............. 134
§ 1. Собственные векторы и собстве'нные значения линейного преобразования ................... 134
1*
§ 2. Приведение к простейшему виду матрицы линейного : преобразования в случае различных собственных значений . ...........................14
§ 3. Многочлены от матриц и теорема Гамильтона—Кэли 1J
§ 4. Свойства собственных векторов и собственных значений симметричного линейного преобразования ...... 1J
§ 5. Приведение к диагональному виду матрицы симметричного линейного преобразования .............1J
§ 6. Приведение квадратичной формы к каноническому виду............................If
§ 7. Представление невырожденного линейного преобразо- ', i вания в виде" произведения симметричного и ортогонального преобразований .•............... . П
'лава V. Общая теория поверхностей второго порядка . . П § 1. Общее уравнение поверхности второго порядка. Его
инварианты.........................17
§ 2. Приведение к простейшему виду общего уравнения по-
. верхности второго порядка .........7.....18
§ 3. Определение .типа поверхности второго порядка при помощи -Инвариантов .' . .................IS
f4. Классификация поверхностей второго порядка ..... IS 5. Приложение теории инвариантов к классификации по-
_ верхностей второго порядка................IE
§ 6. Центральные и нецентральные поверхности второго
порядка . . .........................2С
§ 7. Примеры..........................2С
лава VI. Приложение тензорного исчисления к некоторым вопросам механики и физики........21
§ 1. Тенз'ор, инерции . 1 ...........;........ 21
§ 2. Некоторые свойства кристаллов, связанные с тензорами
второй валентности ....................22
§ 3. Тензоры напряжений и деформации...........23
§ 4. Дальнейшие свойства кристаллов . .......... . 24
лава VII. Основы тензорного анализа........... . 26
§ 1. Тензорное поле и его дифференцирование.......26
§ 2. Механика деформируемой среды ............27
§ 3. Ортогональные криволинейные системы координат . . 28 § 4. Подвижной репер ортогональной криволинейной системы координат и тензорные поля...........29
§ 5. Дифференцирование тензорного поля в криволинейных координатах.........................30
Ответы и указания к решению задач и упражнений.......32
[итература............................ .34
(редметный указатель ,..,.,.,............ . . . 34;
ПРЕДИСЛОВИЕ
Среди читаемых во втузах специальных глав высшей математики в последнее время выделился курс тензорного исчисления, который необходим для изложения основ механики сплошных сред, кристаллографии, некоторых разделов теоретической физики, физики полупроводников и многих других разделов теоретических и технических дисциплин, изучаемых во втузах. , ' ' _
Несмотря на наличие большого числа книг по тензорному исчислению (см., например, книги [9] — [14] в списке рекомендуемой литературы), студенты и аспиранты высших технических учебных заведений, так же как и инженеры, работающие в промышленности, которым необходимы первоначальные сведения по тензорному исчислению, затрудняются в, подборе руководства по этому разделу математики. Это объясняется тем, что некоторые из имеющихся руководств рассчитаны на достаточно подготовленного читателя и предполагают знакомство с основами линейной алгебры. Изложение же тензорного исчисления в других книгах оказывается сложным именно из-за отсутствия его связи с линейной алгеброй.
- В предлагаемой книге при изложении тензорного исчисления подчеркивается его связь с линейной алгеброй. Необходимые понятия и предложения линейной алгебры вводятся и доказываются в тексте книги в связи с построением аппарата тензорного исчисления и не предполагаются заранее известными читателю.
Для простоты и наглядности все изложение ведется в трехмерном пространстве. 'При этом используются только ортогональные системы координат. Все введенные в книге понятия и полученные результаты иллюстрируются большим числом разобранных в тексте примеров. Каждый параграф снабжен упражнениями, назначение которых—подкрепить и углубить излагаемый материал.
6 ПРЕДИСЛОВИЕ
В книге рассматриваются приложения тензорного исчисления к некоторым вопросам геометрии, механики и физики. Здесь строится общая теория поверхностей второго порядка, изучаются тензоры инерции, напряжений, деформаций и некоторые вопросы кристаллофизики.
В книге изложены также основы тензорного анализа, который строится сначала в прямоугольных декартовых, а затем—в криволинейных ортогональных системах координат. При этом использован метод подвижного репера, который, как нам кажется, дает возможность наиболее просто ввести абсолютное дифференцирование тензоров и ковариантные производные.
Мы не- рассматриваем здесь таких важных вопросов, как приложение тензорного исчисления к дифференциальной геометрии, специальной и общей теории относительности, аналитической механике и т. д. Это связано с тем, что изложение таких вопросов потребовало бы от нас построения тензорного исчисления в многомерном пространстве и введения косоугольных систем координат. А мы сознательно избегаем этого. Однако после знакомства с настоящей книгой читатель бе» * труда сумеет разобраться в литературе, посвященной этим приложениям тензорного исчисления, а также в любой другой литературе, использующей аппарат тензорного исчисления.
Содержание книги несколько выходит за рамки программ, по которым в большинстве технических вузов изучается тензорное исчисление. Но в соответствии с конкретной программой вуза всегда можно выбрать те главы и параграфы, изучение которых будет необходимо.
При изложении материала авторы исходили из того, что читатель знаком, только с обычным курсом высшей математики, читаемым во втузах.
В конце книги приводится список литературы, на которую мы ссылаемся в тексте, а также литературы, рекомендуемой для более глубокого изучения отдельных вопросов.
Мы выражаем искреннюю признательность В. В. Лохину, Л. 3. Румшискому, М. П. Шаскольской, внимательно прочитавшим рукопись и сделавшим ряд полезных замечаний, В. А. Гаухману и И. Е. Морозовой за тщательное редактиро* ванйе, Л. В. Гольдштейн и Л. Г. Пикулевой за большую помощь при подготовке рукописи к печати.
Авторы
Данко П. Е. и Попов А. Г.
Цена: 150руб.
