»
В последние годы методы линейной алгебры находят все большее применение при рассмотрении многочисленных прикладных вопросов. Поэтому основные вопросы линейной алгебры (операции над матрицами, понятие о линейном и евклидовом пространствах, линейные операторы, квадратичные формы и т. д.) включены в программу по математике для технических вузов (см. гл. 1—7).
Кроме того, в книге излагаются некоторые приложения линейной алгебры не только к квадратичным формам, но и к другим разделам курса математики.
В главах 10—12 рассматриваются приложения методов линейной алгебры к теории линейных дифференциальных уравнений, к некоторым вопросам анализа и цепям Маркова.
Включение этих вопросов потребовало знакомства с дополнительными разделами линейной алгебры (главы 8 и 9), которые выходят за рамки действующих в настоящее время учебных программ.
Каждая глава иллюстрирована примерами, поясняющими применение основных теоретических результатов. В конце глав 1—10 предложены задачи для упражнений, часть из которых заимствована из известных задачников.
В книге не содержится теория определителей. Для удобства; чтения во введении приводятся основные свой-
1"
ОГЛАВЛЕНИЕ
/ - i -
Предисловие.......................... 3
i Введение. Определители п-г'о порядка............ 5
Глава I. Матрицы...................... 10
§ 1. Основные определеняя ....... i........ 10 •
§ 2. Операции над матрицами '..•..'........... 12
§ 3. Клеточные матрицы ..................... 21
Глава 2. Решение системы линейных уравнений ... 26
§ 1. Формулы Крамера.................. 26
§ 2. Метод Гаусса...................... 28
§ 3. Эквивалентные матрицы . . . . -............ 32
§ 4. Ранг матрицы ..................... 35
л - § 5. Критерий совместности системы........... 38
§ 6. Однородная система линейных уравнений...... 39
.Глава 3. Линейные преобразования и линейные пространства............................ 45
, i § Г. Линейные преобразования............. . -45
' ' - - § 2. Линейные пространства ............... . 49
k § 3. Базис линейного пространства ............ 54
'г"ь § 4. Действия над векторами в координатной форме . . 57
Глава 4. Линейный оператор............... 65
§ 1. Линейный оператор................... 65
§ 2. Действия с линейными операторами......... 74
* , § 3. Преобразование координат.............. 11
§ 4. Изменение матрицы линейного оператора при переходе к новому базису................... 80
§ 5- Геометрический смысл определителя матрицы рпера-
/ j тора~в пространствах Va и V3................. 81
' Г л а в а 5. Собственные векторы и собственные числа
.линейного оператора..................... 85
§ 1. Характеристический многочлен и характеристическое
уравнение матрицы..................... 85
§ 2. Собственный вектор и собственное число линейного
, оператора........".................. 86
' § 3. Оператор простой структуры............. 96
Гл а ва 6. Пространства со скалярным произведением 105
,, § 1. Евклидово пространство.......,......... 105
> • § 2. Метрические ^свойства векторов........... 108
, § 3. Ортонормированный базис.............. 112
,>„ §,4. Самосопряженный оператор .........^ ... 116
^V S.S. Симметричный оператор ...............,117
?, ' § 6. Ортогональные преобразования............ 118
^АЬ. »,,
V i „_„
Глава 7. Квадратичные формы............. . 121
§ 1, Квадратичные формы и приведение их к каноническому виду ......................... 121
§ 2. Неоднородный многочлен 2-ой степени ........ 124
§ 3. Упрощение уравнений линий и поверхностей 2-го
порядка........................... 129
§ 4. Знакоопределенные квадратичные формы...... 135
Глава 8. Жорданова нормальная форма матриц..... 139
§ 1. Вспомогательный базис специального вида..... 139 -
§ 2. Жорданов базис в частном случае.......... 14Н-
§ 3. Жорданов базис в общем случае........... 15Г
Г л а в а 9. Функции от матриц................ 1б6
§ 1. Возведение квадратной матрицы в целую положительную степень ...................... 160
§ 2. Многочлены от матриц................ 163
§ 3. Функции от матрицы ................. 165
§ 4. Специальные многочлены от матрицы........ 167
§ 5. Разложение функции от матрицы в ряд....... 170
§ 6. Функциональные матрицы............... 172
Глава 10. Системы линейных дифференциальных уравнений .......................... .... 175
§ 1. Системы линейных дифференциальных уравнений . . 175 .,.,,
§ 2. Линейные системы с постоянными коэффициентами 184 Глава 11. Приложение матриц к некоторым вопросам
анализа............................. 191
§ 1. Нелинейный оператор в евклидовом пространстве . . 191 •/•'
§ 2. Экстремум функции нескольких переменных . 'V . . 196 \'-'
§ 3. Замена переменных в дифференциальных выраже^' • '••--
ниях.................;.........'.. 199 г;
§ 4. Замена переменных в кратных интегралах .... . 206V
Глава 12. Цепи Маркова................ . . 211
§ 1. Цепи Маркова с дискретным временем....... 211
§ 2. Финальные вероятности для цепей Маркова с конечным числом состояний................... 218 .-..-
§ 3. Цепи Маркова с непрерывным временем...... 225 .
Ответы . "............................. 237 •••'
Задачи и упражнения . . . .................... 245
Предметный указатель . . . >................. 253
Цена: 150руб.
