Предисловие...........•........... 7
Введение.........................9
ЧАСТЬ I. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Глава I. Погрешность результата численного решения задачи .... 15
§ 1. Источники и классификация погрешности . . . .' . . . . . 15
§ 2. Запись чисел в ЭВМ .-•..-.............. . 18
§ 3. Абсолютная и относительная погрешности. Формы записи данных 19
§ 4. О вычислительной погрешности . . -......• • . • • 21
§ 5. Погрешность функции................ 23
Глава II. Интерполяция и смежные вопросы.......... 30
§ 1. Постановка задачи приближения функций......... 31
§ 2. Интерполяционный многочлен Лагранжа......... 35
§ 3. Оценка остаточного члена интерполяционного многочлена Лагранжа.............. . . .'..... 37
§ 4. Разделенные разности и их свойства........• • • 37
§ 5. Интерполяционная формула Ньютона с разделенными разностями 39
§ 6. Разделенные разности и интерполирование с кратными узлами . 42
§ 7. Уравнения в конечных разностях........'. • . • 47
§ 8. Многочлены Чебышева............... . 56
§ 9. Минимизация оценки остаточного члена интерполяционной формулы .........,..............59
§ 10. Конечные разности................. 62
§ 11. Интерполяционные формулы Ньютона для равных промежутков 65 § 12. Интерполяционные формулы Бесселя и Эверетта. Составление
таблиц......,................ 67
§ 13. О погрешности округления при интерполировании...... 75
§ 14. Применение аппарата интерполирования. Обратная интерполяция 77
§ 15. Ортогональные системы и их свойства........... 78
§ 16. Ортогональные многочлены.............. 85
§ 17. Численное дифференцирование •........• • • • 88
§ 18. О вычислительной погрешности формул численного дифференцирования ....................... • 92
Глава III. Численное интегрирование............. 95
§ 1. Квадратурные формулы Ньютона — Котеса........ 95
§ 2. Оценка погрешности квадратурной формулы на классе функций 103
§ 3. Квадратурные формулы Гаусса............. 107
§ 4. Практическая оценка погрешности элементарных квадратурных
формул.................' ... 119 ,
§ 5. Интегрирование сильно осциллирующих функций...... 125
1* .
§ 6. Повышение точности интегрирования за счет разбиения отрезка
на равные части................... 128
§ 7. О постановках задач оптимизации...........134
§ 8. Оптимальные квадратуры на классах функций с одной производной ......................139
§ 9. Оптимизация распределения узлов квадратурной формулы . .147
§ 10. Примеры оптимизации распределения узлов........153
§ 11. Главный член погрешности.............. 159
§ 12. Формулы Эйлера и Грегори.............. 163
§ 13. Правило Рунге практической оценки погрешности ...... 167
§ 14. Формулы Ромберга.................174
§ 15. Эксперименты и их обсуждение.............178
§ 16. Вычисление интегралов в нерегулярном случае.......185
§ 17. Принципы построения стандартных программ с автоматическим
выбором шага ....................193
§ 18. Стандартные программы численного интегрирования .... 201
Глава IV. Приближение функций и смежные вопросы . . . . . . .210
§ 1. Наилучшие приближения в линейном нормированном пространстве .......................210
§ 2. Наилучшее приближение в гильбертовом пространстве и вопросы, возникающие при его практическом построении . . . 212
§ 3. Дискретное преобразование Фурье............218
§ 4. Быстрое преобразование Фурье.............222
§ 5. Наилучшее равномерное приближение..........225
§ 6. Примеры наилучшего равномерного приближения......228
§ 7. Итерационный метод построения многочлена наилучшего равномерного приближения................ 235
§ 8. О форме записи многочлена..............242
§ 9. О способах вычисления элементарных функций ....'.. 249
§ 10. О скорости приближения функций различных классов .... 253
§ 11. Интерполяция и приближение сплайнами ......... 256
§ 12. Энтропия и е-энтропия................ 262
Глава V. Многомерные задачи ................270
§ 1. Метод неопределенных коэффициентов.......... 271
§ 2. Метод наименьших квадратов.............272
§ 3. Метод регуляризации.................274
§ 4. Пример регуляризации................275
§ 5. Сведение многомерных задач к одномерным ....... 281
§ 6. Оценка погрешности численного интегрирования по равномерной
сетке.......................289
§ 7. Оценка снизу погрешности численного интегрирования . . . • 292 § 8. Об оптимизации оценки погрешности на более широких классах
способов интегрирования .............. • 295
§ 9. Метод Монте-Карло.................390
§ 10. Обсуждение правомерности использования недетерминированных
методов решения задач................305
§11. Ускорение сходимости метода Монте-Карло........307
§ 12. Квадратурные формулы повышенной точности со случайными
узлами ......................311
§ 13. О выборе метода решения задачи...........316
ЧАСТЬ II. ЗАДАЧИ АЛГЕБРЫ И ОПТИМИЗАЦИИ
Глава VI. Численные методы алгебры.............323
§ 1. Методы последовательного исключения неизвестных.....324
§ 2. Метод ортогонализации................333
§ 3. Метод простой итерации . . . ............335
§ 4. Исследование реального итерационного процесса......340
§ 5. Спектр семейства матриц...............343
5 6. б2-процесс практической оценки погрешности и ускорения схо-
димости.....................• 349
§ 7. Оптимизация скорости сходимости итерационных процессов ' .. . 352
§ 8. Метод Зейделя................... 363
§ 9. Метод наискорейшего градиентного спуска........369
§ 10. Метод сопряженных градиентов........... > 372
§ И. Метод Монте-Карло решения систем линейных уравнений . . 378 § 12. Итерационные методы с использованием спектральнэ эквивалентных операторов...................385
§ 13. Погрешность приближенного решения системы уравнений и
обусловленность матриц. Регуляризация.........388
§ 14. Проблема собственных значений............394
§ 15. Решение полной проблемы собственных значений для симметричной матрицы методом вращений...........400
Глава VII. Решение систем нелинейных уравнений и задач оптимизации 405
§ 1. Метод простой итерации и смежные вопросы.......4Э7
§ 2. Метод Ньютона решения нелинейных уравнений......411'
§ 3. Другие методы решения одного уравнения........416
§ 4. Методы спуска...................420
§ 5. Другие Методы сведения многомерных задач к задачам меньшей
размерности....................425
§ 6. Решение стационарных задач путем установления . . • • • . 429
§ 7. Что оптимизировать?................• 436
§ 8. Как оптимизировать?.................440
«ЧАСТЬ III. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Глава VIII. Численные методы решения задачи Кош и.......447
§ 1. Разложение решения в ряд Тейлора...........448
§ 2. Методы Рунге — Кутта ................450
§ 3. Методы с контролем погрешности на шаге........459
§ 4. Оценка погрешности одношаговых методов........ 461
§ 5. Конечно-разностные методы.............. 466
§ 6. Метод неопределенных коэффициентов..........471
§ 7. Исследование свойств конечно-разностных методов на модельных задачах ................... . 476
§ 8. Оценка погрешности конечно-разностных методов.....• 483
§ 9. Главный член погрешности ........>......488
§ 10. Изучение свойств конечно-разностных методов на более точных
моделях......................493
§ 11. Интегрирование систем уравнений........., . . . 502
§ 12. Ряд общих вопросов .................512
§ 13. Формулы численного интегрирования уравнений второго порядка 519 § 14. Оценка погрешности численного решения задачи Коши для уравнения второго порядка ................ 523
§ 15. Двусторонние методы.....•..........528
Глава IX. Численные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений..............535
§ 1. Простейшие методы решения краевой задачи для, уравнения
второго порядка .................. 535
6 9 Л\тк-тта Гпыио ГАтпинпй гспя&лпй чяттяаи . ......К42
§ 3. Решение простейшей краевой сеточной задачи.......548
§ 4. Замыкания вычислительных алгоритмов........- 557
§ 5. Обсуждение постановок краевых задач для линейных систем
первого порядка...................565
§ 6. Алгоритмы решения краевых задач для систем уравнений пер- .
вого порядка....................571
§ 7. Методы дифференциальной ортогональной прогонки .... 577
§ 8. Нелинейные краевые задачи..............583-
§ 9. Аппроксимации специального типа...........59S
§ 10. Конечно-разностные методы отыскания собственных значений . 601
§ 11. Оптимизация распределения узлов интегрирования.....60&
§ 12. Влияние вычислительной погрешности в зависимости от формы
записи конечно-разностного уравнения........• • 612
§ 13. Оценка вычислительной погрешности при решении краевой задачи методом прогонки................618
Список литературы . . •..................• 622
Предметный указатель ...................62S
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга написана на основе лекций, читавшихся автором последние десять лет на механико-математическом факультете и на факультете вычислительной математики и кибер-нетики МГУ и на основе опыта работы в.ВЦ МГУ.
Как и всякое другое пособие по численным методам, эта книга содержит изложение основных положений теории, в данном случае относящихся к приближению функций, интегрированию, задачам алгебры и оптимизации, решению дифференциальных уравнений. .
Текущий период характерен бурным развитием вычислительной техники; в частности, мощность парка ЭВМ возрастает на порядки в течение десятилетия. Это обстоятельство сопровождается усиленным применением ЭВМ и численных методов для решения резко расширяющегося круга задач. В результате происходит быстрое изменение взглядов на весь комплекс вопросов, связанных с применением ЭВМ, и требований к численным методам решения задач. В частности, в связи с вышесказанным. нельзя предложить пособия по численным методам, содержащего рецепты решения всех возможных реальных задач. При выборе метода решения сложной конкретной задачи всякое пособие зачастую играет роль лишь общего руководства, отталкиваясь от которого исследователь рассматривает свои проблемы.
Работа, связанная с созданием и применением численных методов, складывается из чисто теоретических исследований методов решения типичных задач, анализа работы алгоритмов при решении модельных задач, „вычислительного эксперимента и ряда других моментов. Большое значение имеют вопросы выбора направления исследования, построения математических моделей рассматриваемых явлений, организации контактов с представителями других наук.
В каждом конкретном случае эти проблемы приобретают свои оттенки и трудно дать какие-либо общие рекомендации, пригодные во всех случаях. Поэтому рассуждения автора по затрагиваемым вопросам следует рассматривать не как руководство к действию, а просто как одну из возможных точек зрения.
Цена: 200руб.
