Предисловие....................................... 7
Глава 1. Введение................................. 9
1.1. Предмет теории вероятностей..................... 9
1.2. Краткие исторические сведения.................... 15
Глава 2. Основные понятия теории вероятностей............ 21
2.1. Событие. Вероятность события .................... 21
2.2. Непосредственный подсчет вероятностей.............. 22
2.3. Частота, или статистическая вероятность, события........ 26
2.4. Случайная величина............................ 30
2.5. Практически невозможные и практически достоверные события. Принцип практической уверенности ................. 32
Глава 3. Основные теоремы теории вероятностей............ 35
3.1. Назначение основных теорем. Сумма и произведение событий 35
3.2. Теорема сложения вероятностей.................... 38
3.3. Теорема умножения вероятностей................... 43
3.4. Формула полной вероятности...................... 51
3.5. Теорема гипотез (формула Бейеса).................. 53
Глава 4. Повторение опытов.......................... 56
4.1. Частная теорема о повторении опытов..............." 56
4.2. Общая теорема о повторении опытов................ 58
Глава 5. Случайные величины и их законы распределения..... 64
5.1. Ряд распределения. Многоугольник распределения........ 64
5.2. Функция распределения......................... 69
5.3. Вероятность попадания случайной величины на заданный участок 74
5.4. Плотность распределения........................ 76
5.5. Числовые характеристики случайных величин. Их роль и назначение................................. 81
5.6. Характеристики положения (математическое ожидание, мода, медиана)................................... 82
5.7. Моменты. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение. . . 88
5.8. Закон равномерной плотности..................... 99
5.9. Закон Пуассона.............................. 101
Глава 6. Нормальный закон распределения................ 108
6.1. Нормальный закон и его параметры................. 108
6.2. Моменты нормального распределения................ 112
1*
6.3. Вероятность попадания случайной величины, подчиненной нормальному закону, на заданный участок. Функция Лапласа ... 114 6.4 Вероятное отклонение. Приведенная функция Лапласа...... 46
Глава 7. Определение законов распределения случайных величин
на основе опытных данных.................... 122
7.1. Основные задачи математической статистики........... 122
7.2. Простая статистическая совокупность. Статистическая функция распределения ............................... 124
7.3. Статистический ряд. Гистограмма................... 127
7.4. Числовые характеристики статистического распределения ... 130
7.5. Выравнивание статистических рядов................. 134
7.6. Критерии согласия............................ 140
Глава 8. Системы случайных величин.................... 150
8.1. Понятие о системе случайных величин............... 150
8.2. Функция распределения системы двух случайных величин ... 151
8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин . . 154
8.4. Законы распределения отдельных величин, входящих в систему. Условные законы распределения.................... 159
8.5. Зависимые и независимые случайные величины........... 162
8.6. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции........ 166
8.7. Система произвольного числа случайных величин......... 172
8.8. Числовые характеристики системы нескольких случайных величин.................................... wo
Глава 9. Нормальный закон распределения для системы случайных
величин.................................. 178
9.1. Нормальный закон на плоскости................... 178
9.2. Эллипсы рассеивания. Приведение нормального закона к каноническому виду.............................. 182
9.3. Вероятность попадания в прямоугольник со сторонами, параллельными главным осям рассеивания................. 185
9.4. Вероятность попадания в эллипс рассеивания........... 187
9.5. Вероятность попадания в цель произвольной формы....... 191
9.6. Нормальный закон в пространстве.................. 194
Глава 10. Числовые характеристики функций случайных величин 198
10.1. Математическое ожидание функции. Дисперсия функции. . . . 198
10.2. Теоремы о числовых характеристиках................ 206
10.3. Применения теорем о числовых характеристиках......... 217
Глава 11. Линеаризация функций....................... 238
11.1. Метод линеаризации функций случайных аргументов....... 238
11.2. Линеаризация функции одного случайного аргумента...... 239
11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов . . . 241
11.4. Уточнение результатов, полученных методом линеаризации. . . 245
Глава 12. Законы распределения функций случайных аргументов 249
12.1. Закон распределения монотонной функции одного случайного аргумента.................................. 249
12.2. Закон распределения линейной функции от аргумента, подчиненного нормальному закону...................... 252
12.3. Закон распределения немонотонной функции одного случайною аргумента.............................. 253
12. 4. Закон распределения функции двух случайных величин .... 255 12. 5. Закон распределения суммы двух случайных величин. Композиция законов распределения ..................... 257
12. 6. Композиция нормальных законов ................... 261
12. 7. Линейные функции от нормально распределенных аргументов . 265
12. 8. Композиция нормальных законов на плоскости.......... 266
Глава 13. Предельные теоремы теории вероятностей .........272
13. 1. Закон больших чисел и центральная предельная теорема . . . 272
13. 2. Неравенство Чебышева......................... 273
13. 3. Закон больших чисел (теорема Чебышева)............. 276
13. 4. Обобщенная теорема Чебышева. Теорема Маркова........ 278
13. 5. Следствия закона больших чисел: теоремы Бернулли и Пуассона .................................... 281
13. 6. Массовые случайные явления и центральная предельная теорема 283
13. 7. Характеристические функции..................... 285
13. 8. Выражение плотности распределения случайной величины через
ее характеристическую функцию................... 287
13. 9. Неравенство Ляпунова......................... 289
13.10. Теорема Ляпунова ........................... 291
13.11. Формулы, выражающие теорему Ляпунова» встречающиеся при
ее практическом применении. Теорема Лапласа..........296
Глава 14. Обработка опытов..........................303
14.1. Особенности задачи обработки опытов при ограниченном числе наблюдений. Оценки для числовых характеристик случайных величин ...................................303
14.2. Доверительные границы и доверительные вероятности......307
14.3. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин 313
14.4. Обработка стрельб............................321
14.5. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов............................326
Глава 15. Основные понятия теории случайных функций......345
15.1. Понятие о случайной функции..................... 345
15.2. Понятие случайной функции как расширение понятия системы случайных величин. Закон распределения случайной функции . 349
15.3. Характеристики случайных функций................. 352
15.4. Определение характеристик случайной функции из опыта.... 358
15.5. Методы определения характеристик преобразованных случайных функций по характеристикам исходных случайных функций 360
15.6. Линейные и нелинейные операторы. Оператор динамической системы................................... 363
15.7. Линейные преобразования случайных функций........... 368
15.8. Сложение случайных функций..................... 374
15.9. Комплексные случайные функции................... 377
Глава 16. Канонические разложения случайных функций......381
16.1. Идея метода канонических разложений. Представление случайной функции в виде суммы элементарных случайных функций 381
16.2. Каноническое разложение случайной функции...........385
16.3. Линейные преобразования случайных функций, заданных каноническими разложениями ........................389
16.4. Практический способ построения канонического разложения случайной функции ..... ....................... 393
Глава 17. Стационарные случайные функции...............402
17.1. Понятие о стационарном случайном процессе...........402
17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции
на конечном участке времени. Спектр дисперсий.........410
17.3. Спектральное разложение стационарной случайной функции на бесконечном участке времени. Спектральная плотность стационарной случайной функции ....................... 414
17.4. Спектральное разложение случайной функции в комплексной форме....................................421
17.5. Преобразование стационарной случайной функции стационарной линейной системой...............".............430
17.6. Применения теории стационарных случайных процессов к решению задач, связанных с анализом и синтезом динамических систем....................................437
17.7. Эргодическое свойство стационарных случайных функций. . . 440
17.8. Определение характеристик эргодичной стационарной случайной функции по одной реализации .................. 445
Приложение I. Таблицы........................... , 451
Приложение П. Сетка рассеивания по нормальному закону
(см. вкладку)...............................460
Литература........................................461
Предметный указатель................................' 462
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга написана на базе лекций по теории вероятностей, читанных автором в течение ряда лет слушателям Военно-воздушной инженерной академии им. Н. Е. Жуковского, а также учебника автора по тому же предмету, изданного Академией ограниченным тиражом в 1952 г. В настоящем издании первоначальный текст учебника подвергся весьма значительной переработке.
Книга рассчитана, в основном, на инженера, имеющего математическую подготовку в объеме обычного курса высших технических учебных заведений. При составлении книги автор ставил себе задачу изложить предмет наиболее просто и наглядно, не связывая себя рамками полной математической строгости. В связи с этим отдельные положения приводятся без доказательства (раздел о доверительных границах и доверительных вероятностях; теорема А. Н. Колмогорова, относящаяся к критерию согласия, и некоторые другие); некоторые положения доказываются не вполне строго (теорема умножения законов распределения; правила преобразования математического ожидания и корреляционной функции при интегрировании и дифференцировании случайной функции и др.). Применяемый математический аппарат, в основном, не выходит за рамки нормального курса высшей математики, излагаемого в высших технических учебных заведениях; там, где автору приходится пользоваться менее общеизвестными понятиями (например, понятием линейного оператора, матрицы, квадратичной формы и т. д.), эти понятия поясняются.
Книга снабжена большим количеством примеров, в ряде случаев — примерами расчетного характера, в которых применение излагаемых методов иллюстрируется на конкретном практическом материале и доводится до численного результата. В связи с целевым назначением курса, большая часть технических примеров взята из области авиа-
Цена: 150руб.
