В 30-х годах этого века психолог Дж. Струп, языковед Э. Бенвенист и логик К. Гёдель примерно в одно время выполнили три исследования, с разных сторон освещающие одно и то же явление. Друг о друге эти ученые едва ли знали. Все три работы впоследствии стали классикой для профессионалов — психологов, лингвистов и математиков соответственно,— но за пределами этих узк.,;\ кругов стала известной разве что теорема Гёделя (современный немецкий поэт Ганс Магнус Эн-ценсбергер даже посвятил ей стихотворение).
В экспериментах Струпа испытуемому предъявляли слово, написанное цветными чернилами, и просили быстро назвать цвет чернил. Оказалось, что если красными чернилами написано слово СИНИЙ, то время реакции увеличивается. Смысл слова как бы мешает названию цвета, поскольку не совпадает с ним.
Бенвенист изучал свойство некоторых речевых высказываний, которое можно назвать аутореферентно-стью — ссылкой на себя. Этим свойством обладают те высказывания, при описании смысла которых следует учитывать сами эти высказывания как элемент действительности. Например, в описание смысла фразы «Приказываю открыть парад» должно входить указание на то, что само произнесение этой фразы является сигналом к открытию парада. Почти все военные команды обладают аутореферентностью. Иногда это разделение смысла команды на две части — содержание команды и приказ к ее исполнению — может быть явным. В строевой команде, произносимой «Нале-во!», часть «нале-» указывает направление поворота, а «-во» является сигналом к исполнению; здесь первая часть перестает оыть аутореферентной. Важно отметить, что, как и в
опыте Струпа, аутореферентное высказывание может быть внутренне конфликтным. В нашем примере, если приказ отдается лицом, не имеющим на это права, то часть интерпретации «это есть приказ к исполнению» оказывается ложной.
Гёдель исследовал программу аксиоматизации математики. Существует ли, например, такая явная система постулатов о свойствах целых чисел (вроде аксиом евклидовой геометрии), из которой чисто логически можно вывести все истинные теоремы о них? (Ложные при этом не должны выводиться.) Объяснить точно содержание этой задачи не очень легко даже математику, который специально логикой не занимался. Трудность состоит в описании смысла слов «все» и «вывести»—сначала приходится построить целую теорию, формальную систему, внутри которой этими словами можно пользоваться как математическими терминами. Как бы то ни было, Гёдель показал — вопреки некоторым ожиданиям,— что ответ на поставленный вопрос отрицателен, полной системы аксиом арифметики нет. Причина же этого лежит в странных свойствах ауторе-ферентных высказываний, тех же, что и выше. Старинный парадокс лжеца (лжет ли человек, говорящий «я лгу»?) выявляет такую же внутренне конфликтную ситуацию, как слово «синий», написанное красным цветом. Такой конфликт можно имитировать внутри любой достаточно богатой формальной системы, и в рамках этой системы он окажется неразрешимым.
В построении такой имитации и состоит главное техническое достижение Гёделя. Читатель этой книжки, сумевший продумать содержащуюся в ней версию теоремы Гёделя, вероятно, оценит остроумие разных конструкций, которые приходится изобретать. При этом стоит поразмыслить и над тем, почему в опытах Струпа и в парадоксе лжеца внутренне конфликтное аутореферентное высказывание организуется гораздо проще, чем в рассуждении Гёделя. Кажется, ответ связан с тем, что в человеческом сознании «речевая» система, воспринимающая сигнал, отделена от «образной», оценивающей его содержание. В гёделевской же ситуации их приходится реализовывать общими сред-
Рэймонд М. Смаллиан всю свою профессиональную жизнь занимается вещами, так или иначе связанными с логикой вообще и гёделевой теоремой в частности. В своих математических работах он предложил несколько вариантов формальных систем, в которых идея Гёделя реализуется, по мнению коллег, особенно красиво. В своих же популярных книжках, как эта и предыдущая (Как же называется эта книга?—М.: Мир, 1981), он, подобно каждому писателю, пользуется неведомыми свойствами нашего мозга, чтобы заставить любого терпеливого читателя изумляться, застывать в ожидании, радостно предвкушать и вообще волноваться по поводу вещей, довольно сухих по меркам здравого смысла. Иногда профессор Смаллиан слегка перебарщивает—я не смог заставить себя решать задачки про упырей. Но в лучших головоломках книга заставляет работать речевую и образную системы восприятия так, что они смешно мешают друг другу, вроде ног сороконожки в известной истории.
Логика, оторванная от своего естественного носителя— человеческого мозга, заморожена в микросхемах современных компьютеров. В человеческой голове она живет совершенно иначе, и вечные попытки человечества понять самое себя постоянно возвращают нас к раздумьям, которым посвящена эта книжка. Модели, которые в ней предлагаются, бывают смешны то своей простотой, то эксцентричностью. Смех от души над собственной логикой целителен во многих конфликтах.
Ю. И. Маним
надежд, поскольку они никогда точно не формулиров; лись. Ведь во времена Лейбница не существовал строгого определения понятий «вычислительная мацц на» или «генерирующая машина»; соответствующи точные определения были получены лишь в наше веке. Подобных определений имеется много (их ввод! ли Гёдель, Эрбран, Клини, Черч, Тьюринг, Пост Смаллиан, Марков и многие другие), однако был проверено, что все они эквивалентны между собой, если под словом «разрешимо» понимать разрешимость соответствии с любым из этих эквивалентных определи ний, то мечта Лейбница оказывается неосуществимо по той простой причине, что сами машины можн перенумеровать таким образом, что утверждения 1 и обязательно будут выполняться. Тогда по теореме L множество V, генерируемое универсальной машиной оказывается неразрешимым — оно будет лишь полураз решимо. Следовательно, не существует никакой «чистс механической» процедуры, с помощью которой можно было бы узнать, какие утверждения доказуемы в той или иной системе аксиом, а какие нет. Таким образом, любая попытка изобрести некий хитроумный «механизм» для решения всех математических задач обречена на провал.
Это означает, что, выражаясь пророческими словами известного логика Эмиля Поста (1944), математическое мышление является и всегда будет оставаться по сути своей сугубо творческим процессом. Или, как остроумно заметил математик Пол Розенблум,— человеку никогда не избавиться от необходимости пользоваться своим умом, сколько бы ума он не приложил к этому.
1 редактора перевода................................................ 5
>ед исловие.............................................................. 8
.
1сгь 1. Принцесса или тигр?
1. Задачки с подвохом — старые и новые.............. 12
2. Принцесса или тигр?....................................... 21
3. Лечебница доктора Смолля и профессора Пер-
ро.................................................................. 34
4. Инспектор Крейг в Трансильвании ................... 51
асть 2. Головоломки и метаголоволомки
5. Остров Вопрошаек.......................................... 68
6. Остров Сновидений.......................................... 83
7. Метаголоволомки ........................................... 95
асть з. Тайна сейфа из Монте-Карло
8. Тайна сейфа из Монте-Карло........................... 106
9. Удивительная числовая машина ....................... 112
10. Принцип Крейга.............................................
11. Законы Фергюссона........................................ 142
12. Остановимся и попробуем обобщить!................ 152
13. Ключ............................................................. 156
Часть 4. Разрешима или неразрешима наша задача?
14. Логическая машина Фергюссона....................... li
15. Доказуемость и истина.................................... Г
16. Машины, рассказывающие о себе..................... II
17. Вечные и отмирающие числа ........................... 2(
18. Машина, которая так и не была создана ........... 2(
19. Мечта Лейбница ..............:.............................. 21
Цена: 100руб.
