Доп°облнеДние до множеству(13). ^
Вопросы для контроля ......'.'....'..... !i
Упражнения 1.1 —1.^ ..... ......t . ю
§,2. Рациональные числа . ; ; ' ' „'(1'6)'. 2. Рациональные
>„»ЛГз« ж€=Гн™сГЛ=: Sr\,7±"«-?'««™»- »л" <"»• ..... « •
Вопросы для контроля .....• • ;......... 24
Упражнения 1.21 —1-М..... ......•• -1о
§ 3. Действительные числа.....•• ' '^ 2, Действия
1. Множество действительных чисел ^- ^ приб. над действительными числами (/о)•_э- ^ Координатная ' лижения действительных чисел (-ч-
ось и числовая прямая (сН)- ....... 3j
Вопросы для контроля ........' ...... 33
Упражнения 1.33 — 1.43 . . • : ' ' ' 'приближений . . S4 § 4. Приближенные значения и п^Р^СТАИбсоЛЮтаая погреш-1. Приближенное значение величины. AOCW ости
ность приближения. Граница абс°лю^°" ица относи-(34). 2j Относительна,• погрешнос- Грант- ^
тельной погрешности (да), з. икруи^
округления (39). ....... 41
Вопросы для контроля .......... ... 42
•.. fp™,; L4— си,-«««•r«s,»
^Т-пТрЦХГ $s^«3b* «n°5S
ность частного (47). о. Погрешносю *.
(50). 6. Вычисления с заданной точностью (и 1). _ 52
Вопросы для контроля .....- •..... ... 52
Упражнения 1.52—1.60..............
^^ 3
§ 6. Практические приемы приближенных вычислений .... 52
К Запись чисел в стандартном виде (52). 2. Верные и сомнительные цифры в записи приближенного значения (53). 3. Сложение и вычитание приближенных значений (55). 4, Умножение и деление приближенных значений (57).
Вопросы для контроля ......... ........ 60
Упражнения 1.61 — 1.72................ 60
Глава 2». ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ЛОГИКИ ................... 62
§ 7. Высказывания и предложения, зависящие от переменной
1. Высказывания (62). 2. Предложения, зависящие -От переменной (63). 3. Знаки общности и существования (64).
Вопросы для контроля ................ 65
• Упражнения 2.1—2.7................. 66
§ 8. Метод математической индукции............ 67
1. Принцип и метод математической индукции (67). 2. Обобщение метода математической индукции (69).
Вопросы для контроля ................ 70
Упражнения 2.8 — 2.12................ 70
§ 9. Различные виды теорем и их взаимосвязь ....... 70
1. Взаимно обратные теоремы (70). 2. Взаимно противоположные теоремы (72). 3. Необходимые и достаточные условия (73).
Вопросы для контроля ................ 75
Упражнения 2.13 — 2.19................ 75
Глава 3. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ ... 77 § 10. Уравнения и системы уравнений ........... 77
1. Квадратные уравнения (77). 2. Уравнения с одним неизвестным (общий случай) (78). 3. Уравнения и системы уравнений с двумя неизвестными (81).
Вопросы для контроля................ 86
Упражнения 3.1—3.6................. 86
§ 11. Системы двух линейных уравнении с двумя неизвестными и определители второго порядка .......... 88
1. Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными (88). 2. Геометрическая иллюстрация решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными (92). 3. Определители второго порядка (94). 4, Свойства определителей второго порядка (96).
Вопросы для контроля................. 98
Упражнения 3.7 — 3.18............... . 99
§ 12. Определители третьего порядка и их свойства..... 100
1,. Матрицы и определители третьего порядка (100). 2. Свойства определителей третьего порядка (102).
Вопросы для контроля................. 104
Упражнения 3.19 —3.25................. 104
§ 13*. Системы линейных уравнений со многими неизвестным:! , ,105 1. Системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными (105). 2. Системы линейных уравнений с я неизвестными (111).
4
Упражнения 3.26-З.Ж................ »
§ 14' п№?^^*?^^»*№ ' * •'*»*-
«J.неравенства; Неравенства с модулем (И 9). 3. Квад-оатные неравенства (121). 4. Рациональные неравенства (123) 5. Системы неравенств (124).
Вопросы для контроля..............• •> • > U»
Упражнения 3.33 — 6.60 ..............- • ?°
8 15 -Понятие о задачах линейного программирования .... 29
9 Упражнения 3.39-3.41 ..'..;........., . • 132
Глава 4 ФУНКЦИИ. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ПРЁ-
: ДЁЛЬ!.. ,. :.............;-.;.:• \34
S 16. Функции......................... и<*
1 Понятие функции (134). 2. Функции и отображения : (135). 3. Числовые функции (135). 4. Способы .задания 1; функции (135). 5. Функция, обратная к данной функции . ' (137) 6 Четные и нечетные функции (139). 7. Периодические функции (140). 8. Монотонные функции (142).,
Вопросы для контроля................... 143
Упражнения 4.1 — 4.13 ................ 144
;§ 17. Последовательности.................. 146
1. тт::;.'1овые последовательности (146). 2. Монотонные последовательности. (149). 3. Ограниченные и неограниченные последовательности (151). . .
Вопросы для контроля............. ...... 153
Упражнения 4.14 —4.28...... • -. • • •'.'>..••• • • !54
§ 18. Предел последовательности ............'. • 156
1. Предел числовой последовательности. Сходящиеся и расходящиеся. числовые последовательности (156). 2. Геометрический смысл сходимости последовательности (159).
3. Необходимое условие существования предела последовательности (160). 4. Единственность предела последовательности (16.1). 5. Бесконечно малые последовательности. Основные теоремы о бесконечно малых последовательностях (161). 6. Теоремы о пределах последовательностей (164). 7. Бесконечно большие последовательности. Связь между бесконечно большой и бесконечно малой последовательностями (167). 8. Существование предела у монотонной ограниченной последовательности (169). 9. Понятие числового ряда (170). 10. Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии (172).
Вопросы для контроля ................ 174
Упражнения 4.29—4.39................ 174
§ 19. Предел функции ................... 1J6
1. Предел функции в точке (176).^ 2. Теорема о единственности предела (178). 3. Теоремы о пределах (178).
4. Односторонние пределы (181). 5. О пределе функции при х—>• ±оо. Бесконечный предел функции (182),
Вопросы для контроля ............., . . 185
Упражнения 4.40 — 4.47................ 186
§ 20. Непрерывные функции................ 187
1. Понятие непрерывной функции (187). 2. Примеры (189). 3. О непрерывности функции на множестве (190).
S
4. Точки разрыва (191). 5. Свойства непрерывных функций (191).
Вопросы для контроля ................ 194
Упражнения 4.48 — 4.49 . . .............. 194
Глава 5. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ......... 196
§ 21. Степени и логарифмы................. 196
1. Арифметические корни (196). 2. Степень с рациональным показателем (198). 3. Степень с действительным показателем (199). 4. Логарифмы (201). 5. Основные с^ой-ства логарифмов (202). 6. Формула перехода от логарифмов по одному основанию к логарифмам по другому основанию (203).
Вопросы для контроля................. 204
Упражнения 5.1 — 5.16................ 205
§ 22. Показательная, логарифмическая и степенная функции 208 : 1. Показательная функция (208). 2. Логарифмическая
функция (210). 3. Степенная функция (213)(
Вопросы для контроля ................ 215
Упражнения 5.17 — 5.27................ 215
§ 23. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства 216 1. Показательные уравнения (216). 2. Логарифмические уравнения (219). 3. Показательные и логарифмические неравенства (222). Упражнения 5.28 — 5.36................ 225
§ 24. Тригонометрические функции числового аргумента . . . 227 1. Радианное измерение углов и дуг (227). 2. Синус, косинус, тангенс и котангенс действительного числа (230). 3. Знаки значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса (233). 4. Тригонометрические функции и их простейшие свойства (235),
Вопросы для контроля ................ 238
Упражнения 5.37 — 5.50 . . . . ' ........... 238
§ 25. Основные формулы тригонометрии, их следствия .... 239 1. Тригонометрические функции суммы и разности двух аргументов (239). 2. Формулы приведения (242). 3. Тригонометрические функции двойного и половинного аргу-ме,нтов (244). 4. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму и разность, и наоборот (247). 5*. Преобразование выражений a sin а + Ъ cos а (249).
Вопросы для контроля................. 249
Упражнения 5.51 — 5.94................ 250
§ 26. Тригонометрические функции, их графики....... 255
1. Непрерывность тригонометрических функций (255).
2. Свойства и графики функций y=sinx и y = cosx (256).
3. Свойства и графики функций y — tgx и j/ = ctg к (259).
4. График гармонического колебания (260).
Вопросы для контроля ................ 263
Упражнение 5.95................... 263
§ 27. Обратные тригонометрические функции ........ 264
1. Функция арксинус и ее график (264). 2. Функция арккосинус и ее график (265). 3. Функции арктангенс и арккотангенс и их графики (267).
Вопросы для контроля ................ 270
Упражнения 5.96 — 5.105 ............... 270
«
s 98 Тригонометрические уравнения............ 271
§ 2й. «Р"' остейшие тригонометрические уравнения (271). 2 Примеры решения тригонометрических уравнений (276). упражнения 5.106-5.116............... 283
Глава 6. ПРОИЗВОДНАЯ ................ 286
s 29. Производная................... ... /60
s 1 Задачи, приводящие к понятию производной (286). 2 Производная функции (289). 3. Вычисление производной на основе ее определения (291). 4. Непрерывность дифференцируемой функции (292).
' Вопросы для контроля................ 294
Упражнения 6.1 — 6.6................. 294
s 30. Производная суммы, разности, произведения и частного
функций....................... 294
1. Производная суммы и разности функций (294). 2. Производная произведения функций (295). 3. Производная частного двух функций (296).
Вопросы для контроля ................
Упражнения 6.7 — 6.12................. 297
§ 31. Производная сложной и обратной функций ...... 298
1. Сложная функция (298). 2. .Производная сложной 298 функции (299). 3*. Производная обратной функции (300).
Вопросы для контроля................ 301
Упр-""н.-ния 6.13 — 6.15................ 301
§ 32. Производные некоторых элементарных функций .... 301 1*. Пределы, связанные с числом е (301). 2. Производная показательной функции (302). 3. Производная логарифмической функции (304). 4. Производная'степенной функции (305). 5. Производная синуса (307). 6. Произ- -водная косинуса (308). 7. Производная тангенса (308). 8. Производная котангенса (309). 9. Производная арксинуса (309). 10. Производная арккосинуса (310). 11. Производная арктангенса (311). 12. Производная арккотангенса (312). 13. Таблица производных (313). 14. Производные высших порядков (314).
Вопросы для контроля................ 315
Упражнения 6.16 — 6.52................ 315
§ 33. Дифференциал функции................ 318
1. Определение дифференциала функции (318). 2. Гео-, метрический смысл дифференциала (319). 3. Приложение Дифференциала к приближенным вычислениям (320).
вопросы для контроля................ 322
Упражнения 6.53 — 6.55................ 322
Г!315!? 7' ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ........ 323
9 м. Касательная и нормаль к кривой ........... 323
1- Определение касательной и нормали к кривой (323). /. 1 еометрический смысл производной (324). 3. Уравнения касательной и нормали к кривой (325).
Вопросы для контроля................ 328
§ 35 н РЭЖНеНИЯ 7л-7.8................. 328
• некоторые применения производной в физике..... 329
^••задача о теплоемкости тела (329). 2. Задача о скорости химической реакции (329). 3. Задача о линейной
i
плотности стержня (330). 4. Механический смысл второй производной (ускорение) (331). '
Вопросы для контроля............ i ... 331
Упражнения 7.9 — 7.19 . . . ............. 332
§ 36. Приложение производной к исследованию возрастания
и убывания функции.............,'.... 332 ]
1. Необходимые условия возрастания и убывания функ- 1
ции .(332). 2. Теорема Лагранжа (333). 3. Достаточные условия возрастания и убывания функции (334). 4. Правило нахождения интервалов монотонности (335). :'• >•"•
: Вопросы для контроля............... 336
Упражнение J.20 .............. . . . . . 336
§ 37. Исследование экстремумов функции......i'• i: . . 337
.-• 1. О понятии экстремума функции (337). 2. Необходимое условие существования экстремума (338). 3. Достаточные условия существования экстремума (339). 4. Правила нахождения экстремумов функции (340).
Вопросы для контроля................ . ..... , 342
Упражнение 7.21 ,,..................., 342
.§ 38. Выпуклость графика функции . . . .......... . 342
" !. О понятии выпуклости графика функции (342). 2. Дос-
таточное условие выпуклости графика функции (344). 3. Точки перегиба (345). 4. Исследование квадратичной функции (347).
Вопросы для Контроля .....:...., ..... 350
Упражнения 7.22 — 7.23' ...........'... ..". . 351
§ 39. Построение графиков функций............ 351
1. Асимптоты (351). 2. Примеры построения графиков
функций (354).
Упражнения 7.24 — 7.25................- 360 i
§ 40. Решение задач на максимум и минимум........ 360 *
Упражнения 7.26 — 7.40................ 363 •
Глава 8. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ........ . 365 i
§ 41. Неопределенный интеграл и его свойства....... 365 i
1. Первообразная и неопределенный интеграл (365), 2. Основные свойства неопределенного интеграла (367). 3. Таб- I лица неопределенных интегралов (368). I
Вопросы для контроля................ 370 i
§ 42. Методы интегрирования................ 370
1. Метод непосредственного интегрирования (370). 2. Интегрирование методом замены переменной (метод подстановки) (373). 3*. Интегрирование по частям (380). Упражнения 8.1—8.21 ;.......'........ 384
Глава 9. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ......... 389
§ 43. Площадь криволинейной трапеции........... 389
Вопросы для контроля................ 393
Упражнения 9.1—9.2................. 393
§ 44. Определенный интеграл................ 393
1. Определение интеграла (393). 2*. Пример неинтегрируемой функции (396). 3. Основные свойства определенных интегралов (396). 4. Следствия из основных свойств определенных интегралов (398). 5. Теорема о среднем
(399). 6.. Определенный интеграл с переменным верхним пределом (400). .„„
Вопросы для контроля................ 4Ш
Уппажнения 9.о— »-о......«....... .А„
8 45 Методы вычисления определенных интегралов ..... 403 §45.. метод Ньют0на-Лейбница (403). 2. Вычисление
пппеделенных интегралов методом подстановки (409)^ 3* Формула интегрирования по частям для определенного интеграла (413). '
'Вопросы для контроля............•..;-. 48
Упражнения 9.6—9.16................ <н»
§ 46. Приближенные методы вычисления определенных интег-
Ь^Формула 'прямоугольников (417). 2. Формула трапе-. :ций (418). ^ _ '
Упражнения 9Л7—9.23................ Ш
Глава 10. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 424 § 47. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла ................. 424
Упражнения 10.1 — 10.8................. 428
| 48. Применение определенного интеграла при решении физических задач . ...................,• • 429
1. Задача о вычислении пути (429). 2, Задача о силе , ">,""ния жидкости (431). 3. Работа переменной силы (433), Упражнения 10,9—10.26 ............. . . 436
ОТВЕТЫ......................... 437
Цена: 150руб.
