О
Предисловие........................ °
Глава I. Комплексные числа ,,,.,...,,«,.,. 9
§ 1. Определение комплексных .чисел ,,,,...,.... 9
1. Предварительные замечания (9). 2, Определение комплекс-ного числа. Свойства операций над комплексными числами (12). Упражнения 1.1—1.11 (17).
§ 2, Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль
и аргументы комплексного числа ..... „»,*.., 19
1. Комплексная плоскость (19). 2. Модуль комплексного числа (2., С. Аргументы комплексного числа (23). Упражнения 1.12—1.24 (24).
§ 3, Различные формы записи комплексных чисел. Операции
над комплексными числами............... 25
1. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексного числа (25). 2. Умножение и деление комплексных чисел, • записанных в тригонометрической форме (28). 3. Возведение в
я степень и извлечение корня (30). 4. Квадратные уравнения (33). -•
I 5. Комплексная степень числа е (35). 6. Показательная форма
I записи комплексного числа (36).
I Упражнения 1.25—1.41 (39).
I Глава II. Неопределенный интеграл ,,,«»«.,,», 42,
I § 4. Дифференциал функции ....,,,.«.,»,.,, 42 I 1. Определение дифференциала функции (42). 2. Геометрический
1 смысл дифференциала ' (43). 3. Приложение дифференциала к
I приближенным вычислениям (45).
Упражнения 2.1—2.3 (47).
§ 5. Неопределенный интеграл и его свойства......, , 47
1. Первообразная и неопределенный интеграл (47). 2. Основные свойства неопределенного интеграла (49). 3. Таблица неопределенных интегралов (50).
§ 6. Методы интегрирования ,,,,,,,...««,,., 51
1. Примеры непосредственного интегрирования (51). 2. Интегрирование методом замены переменной (метод подстановки) (55). 3. Интегрирование по частям (58). 4. Интегрирование некоторых
• 1* з
ряционглмпзх функций (63). Б. Примеры «неберущихся* интегралов (67), Упражнение 2.4 (67).
Глава III. Определенный интеграл............ 7f
§ 7. Площадь криволинейной трапеции ............. 7С
Упражнения 8.1 — 3.4 (74).
§ 8. Определенный интеграл...........'..... 74
1. Определение интеграла (74), 2, • Теоремы ofr интегрируемости функций на отрезке (75). 3. Пример неинтегрнруеыой функции (76).
§ 9. Свойства определенных интегралов ..,,.».,,.. 76
1. Основные свойства определенных интегралов (76). 2. Следствие из основных свойств (78). 3. Некоторые обобщения (79).
4. Теорема о среднем (80), 5. Определенный интеграл с переменным верхним пределом (82).
§ 10. Методы вычисления определенных интегралов..... 83
1. Формула Ньютона—Лейбница (83), 2. Вычисление определенных интегралов методом подстановки (86). 3. Вычисление определенных интегралов методом интегрирования по частям (90). Упражнения 8.5—3.13 (92).
§ 11. Приближенные методы вычисления определенных интегралов .........-, , . ., ,........... 93
1. Формула прямоугольников (04). 2, Формула трапеций (96). Упражнения S.14—8,17 (99).
Глава IV. Приложения определенного интеграла ...... 101
§ 12. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла .«....».,,.....,,,. 101 Упражнение 4.1 (106).
§ 13. Длина дуги кривой.................. 106
Упражнение 4.2 (109).
§ 14. Применение определенного интеграла при решении физических и технических 'задач . , . ,.......... НО
1. Задача о вычислении пути (11.0). 2. Задача о силе давления жидкости (112). 3. Работа" переменной еилы(114). 4. Статические моменты и координаты центра масс (116). Упражнения 4.3—4.40 (122).
Глава V. Функции многих переменных и кратные интегралы 125 § 15. Функции многих переменных ,,.,,,,.,,.., 125
1. Определение функции многих переменных (125). 2. Непрерывность функций многих переменных (126). 3. Чаотиве производные (127). 4. Предел функций многих переменных (129).
5. Дифференциалы функций МНО'РИХ переменных (131). Упражнения 5.1—5.10 (133).
§ 16. кратные интегралы........". ........, 134
1 Определение и свойства двойного интеграла (случай прямо, угольника) (134). 2. Сведение двойного интеграла к повторному (случай прямоугольника) (135). 3. Определение двойного интеграла для произвольной области (138). 4. Тройньзе интегралы.
(139).
Упражнения 5.11-5.16 (141).
§ 17. Приложения кратных интегралов............ 141
1. Масса плоской пластинки переменной плотности (141).
2. Объем тела (143). 3. Масса тела переменной плотности (144). Упражнения 5.17—5.19 (145),
Глава VI. Комбинаторика и формула Ньютона для степени
бинома.............,.,..., 146
§ 18. Размещения, перестановки, сочетания ..«.,.... 146 1. Примеры простейших комбинаторных задач (146). 2. Размещения и перестановки (148). 3. Сочетания (151). Упражнения 6.1—8.27 (155).
§ 19. Формула Ньютона .................. 156
Уп-яи-нения 6.28-6.41 (162).
Глава VII. Элементы теории вероятностей ......... 164
§ 20. Случайные события. Вероятность события....... 164
1. Случайные события и операции над ними (164). 2. Опыт о равновероятными исходами. Классическое определение вероятности события (168). Упражнения 7.1—7.8 (171).
§21. Основные теоремы теории вероятностей и их следствия 172
1. Теорема сложения (172). 2. Условная вероятность. Теорема умножения. Независимость событий (174). 3. Формула полной вероятности (180). 4. Формулы Байеса (182). Упражнения 7.9—7.30 (185).
§ 22. Серии неяависимых опытов. Формула.Я. Бернулли . . . 187
Упражнения 7.31—7.38 (192). ^
§ 23. Случайные величины................. 193
I 1. Закон распределения случайной величины (193). 2. Математи- .
ческое ожидание случайной величины (197). 3. Дисперсия случай-' ной величины (198). 4. Неравенство Чебышева (202). 5. Затфн
| больших чисел (204).
Упражнения 7.39—7.53 (206).
Глава VIII. Дифференциальные уравнения........ 208
§ 24. Примеры дифференциальных уравнений........ 208"
1. Размножение бактерий (208), 2. Радиоактивный распад (210). I 3. Общие замечания сб уравнениях образования и распада вещест-
I ' ' ч
ва (211). 4. Дифференциальное уравнение кривой, которая в каж« дои своей точке имеет заданную касательную (212). Упражнения 8.1—8.8 (213).
§ 25. Основные понятия и определения- теории дифференциальных уравнений первого порядка ....,,,,,,,» 214
Упражнения 8.0—8.12 (217).
§ 26. Уравнения с разделяющимися переменными »,»,,« 217
1. Определения и примеры (217). 2. Правило нахождения общего решения (220). «
Упражнения 8.13—8.19 (223).
§ 27. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка 224
1. Общее решение линейного уравнения первого порядка (224).
2. Метод вариации постоянной (227), Упражнения 8.20—8.23 (229).
§ 28. Примеры дифференциальных уравнений второго порядка 229
1. Уравнение движения точки (229). 2. Движение точки под действием постоянной силы (230). 3. Движение точки под действием периодической силы (232). 4. Движение точки под действием силы, пропорциональной скорости (233). Упражнения 8.24—8.29 (235).
§ 29. Гармонические колебания......, , ....... 235
1. Уравнение гармонических колебаний (235). 2. Колебания точки под действием упругой силы (237). 3. Колебания математического маятника (239). Упражнения 8.30—8.33 (241).
§ 30. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами............ 241
1. Дифференциальные уравнения второго порядка (241). 2. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами (242).
3. Характеристическое уравнение (244). 4. Случай комплексных решений характеристического уравнения (245). 5. Случай, когда характеристическое уравнение имеет одно решение (246). 6. Неоднородные линейные уравнения (247).
Упражнения 8.34—8.37 (248).
Глава IX. Числовые fi степенные ряды......... 250
§ 31. Числовые ряды.......-............, 250
1. Определение ряда и его суммы (250). 2. Ряды с неотрицателы ными членами (255). 3. Абсолютно и условно сходящиеся ряды (259); 4. Последовательности и ряды с комплексными членами (262).
Упражнения 9.1—9.5 (266).
§ 32. Степенные ряды................... 267
1. Радиус сходимости и круг сходимости степенного ряда (267).
2. Степенные ряды с действительными членами (272). Упражнения 9.6—9.8 (274).
д
275 s 33. Ряды Тейлора..................' •
1 Формула Тейлора (275), 2. Формула Тейлора для некоторых: элементарных функций (280). 3. Ряды Тейлора (283). 4. Функции ег sin г и cos г (287). Упражнения 9.9-9.12 (288).
Глава X. Ряды Фурье.................. 289
S 34 Ряды Фурье для периодических функций с периодом
S 'Т = 2я........................ М*
I Постановка задачи и определение ряда Фурье (289). 2. Теорема
0 сходимости ряда Фурье (295). 3. Ряды Фурье для четных и не-четных функций (298). 4. Разложение функций, заданных на отрезке вида [а; а+2я] (302).
Упражнения 10.1-10.5 (305).
S 35 Ряды Фурье для периодических функций с произвольным
'периодом Т = 2/, / > 0................ 306
1 Определение ряда Фурье (306). 2. Ряды Фурье для четных и нечетных функций (309). 3. Разложение функций, заданных на отрезке вида [а; а+2г] (311).
Упражнения 10.6—10.10 (313). , '
§ 36. Комплексная форма рядов Фурье ,.......... 314
1. Ряды Фурье для функций с периодом 2я (314). 2. Ряды Фурье для функций с произвольным периодом Т-41 (319). Упражнения 10.11-10.13 (321).
Ответы.........................• 322
.Приложения........................ 334
Цена: 150руб.
