В труде, в учении, в игре, во всякой творческой деятельности нужны человеку сообразительность, находчивость, догадка, уменье рассуждать — все то, что наш народ метко определяет одним словом «смекалка». Смекалку можно воспитать и развить систематическими и постепенными упражнениями, в частности решением математических задач как школьного курса, так и задач, возникающих из практики, связанных с наблюдениями окружающего нас мира вещей и событий.
«Математика, — сказал М. И. Калинин, обращаясь к ученикам средней школы, — дисциплинирует ум, приучает к логическому мышлению. Недаром говорят, что математика— это гимнастика ума».
Каждая семья, в которой родители озабочены организацией умственного развития детей и подростков, ощущает потребность в подобранном материале для заполнения досуга полезными, разумными и нескучными математическими упражнениями.
Вот для такого рода внепрограммных занятий, бесед и развлечений" в свободный вечер, в семейном кругу и с друзьями, или в школе на внеклассных встречах и предназначена «Математическая смекалка» — сборник математических миниатюр: разнообразных задач, математических игр, шуток и фокусов, требующих работы ума, развивающих смышленость и необходимую логичность в рассуждениях.
В дореволюционное время были широко известны сборники Е. И. Игнатьева «В царстве смекалки». Теперь они устарели для нашего читателя и поэтому не переиздаются. Все же и в этих сборниках есть задачи, еще
1 * О
"не потерявшие педагогической и образовательной ценности. Одни из них вошли в «Математическую смекалку» без изменения, другие с измененным или совсем новым содержанием.
Для «Математической смекалки» я также отбирал и в случае надобности обрабатывал задачи из числа тех, которые рассыпаны по страницам обширной отечественной и зарубежной популярной литературы, стремясь, однако, не повторять задач, включенных в распространенные книги Я. И. Перельмана по занимательной математике *).
Такого рода математические задачи «малой формы» возникают иногда как побочный продукт серьезных изысканий ученого; много задач придумывается любителями, а также педагогами в качестве специальных упражнений для «умственной гимнастики». Они, подобно загадкам и пословицам, обычно не сохраняют авторства и стано-вятся достоянием общества.
«Математическая смекалка» предназначена для читателей с самой разнообразной степенью математической подготовки:
для подростка 10 —11 лет, делающего первые попытки самостоятельных размышлений;
для школьника старших классов, увлеченного математикой,
и для взрослого, желающего испытать и поупражнять свою догадку.
Систематизация задач по главам, конечно, весьма условна; в каждой главе есть и легкие и трудные задачи.
В книге пятнадцать глав.
Первая глава состоит из разнотипных начальных упражнений «затейного» характера, опирающихся на догадку или непосредственные физические действия (эксперимент), иногда на несложные расчеты в пределах арифметики целых чисел (первый раздел главы) и дробных чисел (второй раздел). Несколько нарушая классификационную стройность книги, я выделил в первую главу часть несложных задач, тематически принадлежащих последующим главам. Это сделано в интересах тех читателей, ко-
*) Значительная часть задач или тем для задач почерпнута мною из следующих книг и журналов: Е. И. Игнатьев, В царстве смекалки, кн. I, кн. II, 1923; М. К г a i t с h i k, Mathematical recreations, 1943; S. Jones, Mathematical nuts, 1932; «Математика в школе»; «Затейник»; «Scripta mathematica»; «The American Mathematical Monthly» и др.
4
тооым еще трудно самостоятельно отличить посильную задачу от непосильной. Решая подряд разнотипные задачи первой главы, они смогут попробовать свои силы, а затем возникший интерес к определенной теме перенести на соответствующие задачи последующих глав.
Для решения задач второй главы собственная математическая смекалка и настойчивость должны преодолеть всевозможные препятствия и подсказать выход из затруднительных положений.
Третья глава — «Геометрия на спичках» — содержит ряд геометрических задач — головоломок.
Глава «Семь раз примерь, один раз отрежь» состоит из задач на разрезание фигур.
Содержание задач главы «Уменье везде найдет примененье» связано с практической деятельностью, с техникой.
В главе, названной «Математика почти без вычислений», содержатся задачи, для решения которых требуется построить цепочку искусных и тонких рассуждений.
Игры и фокусы собраны в отдельную главу, а также размещены по всей книге. Они содержат в себе математическую основу и несомненно входят в «область смекалки».
Три главы: «Кросс-суммы и волшебные квадраты», «Курьезное и серьезное в числах» и «Числа древние, но вечно юные», посвящены некоторым любопытным наблюдениям над числовыми соотношениями, накопившимся в математике от глубокой древности до нашего времени.
Последняя глава — два небольших очерка о трудовой смекалке людей нашей Родины, тружеников полей и заводов.
В разных местах книги предлагаются читателю небольшие темы для самостоятельных изысканий.
В конце книги помещены решения задач, но не следует торопиться в них заглядывать.
Всякая задача на «сообразительность» таит в себе некоторую «изюминку» и представляет собой в большинстве случаев крепкий орешек, раскусите который не так-то легко, но тем более заманчиво.
Если решение задачи вам не удается сразу, можно временно пропустить ее и перейти к следующей или
к задачам другого раздела, другой главы. Позже вер- ' нетесь к пропущенной задаче. j
«Математическая смекалка» — книга не для .' легкого чтения «в один присест», а для работы, на про- \ тяжении, может быть, ряда лет, книга для регулярной ] умственной гимнастики небольшими порциями, спутник | читателя в его постепенном математическом развитии. 1
Весь материал книги подчинен воспитательной и образовательной цели: побудить читателя к самостоятельному творческому мышлению, к,дальнейшему совершен- : ствованию своих математических знаний. ;
Второе издание «Математической смекалки» не является • стереотипным повторением первого. Внесены потребовав- ; шиеся изменения в текст и в решения некоторых задач; i отдельные задачи заменены новыми — более содержательными; заново выполнено оформление книги.
Большие усилия, направленные к улучшению книги, приложила редактор издательства М. М. Горячая.
Самостоятельно решая задачи, читатели в отдельных случаях находили дополнительные или более простые решения и любезно сообщали мне свои результаты. Авторы наиболее интересных решений упомянуты в соответствующих местах книги.
Надеюсь получить от читателей «Смекалки» отзывы и пожелания по дальнейшему улучшению книги, а также собственные оригинальные задачи и математические материалы народного творчества.
Адрес: Москва, Б-64, ул. Чернышевского, д. 31, кв. 53, Борису Анастасьевичу Кордемскому.
Б. Кордемский.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие ................... 3
ГЛАЕАПЕРВАЯ
ЗАТЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ
Раздел I
Задачи Решения
1. Наблюдательные пионеры.............9 385
2. «Каменный цветок»................10 385
3. Перемещение шашек...............11 385
4. В три хода....................И 386
5. Сосчитайте!....................12 386
6. Путь садовника..................12 386
7. Надо смекнуть..................13 386
8. Не долго думая..................13 386
9. Вниз —вверх...................13 387
10. Переправа через реку (старинная задача).....14 387
11. Волк, коза и капуста................14 387
12. Выкатить черные шарики.............15 388
13. Ремонт цепи...................15 388
14. Исправьте ошибку................16 390
15. Из трех—четыре (шутка).............16 390
16. Три да два — восемь (еще шутка).........16 390
17. Три квадрата...................16 390
18. Сколько деталей?.................17 390
19. Попробуйте! ...................17 391
20. Расстановка флажков...............17 391
21. Сохранить четность................18 391
22. «Волшебный» числовой треугольник........18 391
23. Как играли в мяч 12 девочек........... 19 392
24. Четырьмя прямыми................20 392
25. Отделить коз от капусты.............20 392
26. Два поезда . . . „................21 392
27. Во время прилива (щ^тка).............21 393
28. Циферблат ...... .............22 393
29. Сломанный циферблат.............. . 22 393
30. Удивительные часы (китайская головоломка) .... 23 393
31. Три в ряд....................24 395
32. Десять рядов...................24 395
567
Задачи Решения
33. Расположение монет ...........'.... 25 чог
34. От 1 до 19....................26 395
35. Быстро, но осторожно...............26 39fi
36. Фигурный рак ..................27 396
37. Стоимость книги..........•.......27 396
38. Беспокойная муха.................27 396
39. Меньше, чем через 50 лет.............28 396
40. Две шутки...... ..............28 396
41. Сколько мне лет?.................29 396
42. Оцените «на взгляд»...............29 397
43. Скоростное сложение...............29 397
44. В какой руке? (математический фокус).......31 397
45. Сколько их?.......... .........31 398
46. Одинаковыми цифрами ..............31 398
47. Сто....................... 31 398
48. Арифметический поединок.............32 398
49. Двадцать.....................33 398
50. Сколько маршрутов? ...............33 399
51. Изменить расположение чисел...........35 400
52. Разные действия, один результат.........35 402
53. Девяносто девять и сто..............36 402
54. Разборная шахматная доска............36 402
55. Поиски мины...................36 402
56. Собрать в группы по 2..............38 402
57. Собрать в группы по 3..............39 402
58. Часы остановились.................39 404
55. Четыре действия арифметики...........39 404
60. Озадаченный шофер ...............40 404
61. Для Цимлянского гидроузла............41 404
62. Хлебосдачу во-время ...............41 405
63. В дачном поезде..................41 405
64. От 1 до 1 000 000 000..............41 405
65. Страшный сон футбольного болельщика......42 406
Раздел il
66. Часы.......................43 406
67. Лестница.....................43 407
68. Головоломка...................43 407
69. Интересные дроби ................43 407
70. Какое число?...................44 407
71. Путь школьника .................44 407
72. На стадионе...................44 407
73. Выгадал ли?...................44 407
74. Будильник....................44 407
75. Вместо мелких долей крупные...........45 407
76. Брусок мыла...................45 408
77. Арифметические орешки..............45 408
78. Дроби-домино ..................46 409
79. Мишины котята .................48 409
80. Средняя скорость.................48 409
81. Спящий пассажир ................48 409
82. Какова длина поезда?...............48 409
83. Велосипедист...................48 409
ЯЯ,9
Задачи Решения
84. Соревнование...................49 409
85. Кто прав?....................49 409
86. К ужину—3 поджаренных ломтика........50 410
ГЛАВАВТОРАЯ
ЗАТРУДНИТЕЛЬНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
87. Смекалка кузнеца Хечо............. 51 410
88. Кот и мыши...................53 410
89. Спички вокруг монеты..............54 411
90. Жребий пал на чижа и малиновку........54 411
91. Разложить монеты................55 411 '
92. Пропустить пассажирский! ............55 412
93. Задача, возникшая из каприза трех девочек .... 56 412
94. Дальнейшее развитие задачи...........57 413
95. Прыгающие шашки................57 415
96. Белое и черное.....,............57 415
97. Усложнение задачи................58 415
98. Карточки укладываются по порядку номеров ... 58 415
99. Две головоломки расположения..........59 417
100. Загадочная шкатулка...............59 417
101. Отважный «гарнизон»...............60 417
102. Лампы дневного света в комнате для телевизионных
передач.....................61 419
103. Размещение подопытных кроликов.........62 421
104. Подготовка к празднику.............63 422
105. Рассадить дубки по-другому...........65 423
106. Геометрические игры...............65 423
107. Чет и нечет (головоломка)............68 424
108. Упорядочить расположение шашек.........69 424
109. Подарок-головоломка...............69 425
110. Ходом коня ...................70 425
111. Перемещение шашек (2 головоломки) .......71 425
112. Оригинальная группировка целых чисел от 1 до 15 72 426
113. Восемь звездочек.................73 426
114. Две задачи на расстановку букв..........73 427
115. Раскладка разноцветных' квадратов........74 429
116. Последняя фишка................74 430
117. Кольцо из дисков................75 431
118. Фигуристы на катке искусственного льда.....76 431
119. Задача-шутка...................77 432
120. Сто сорок пять дверей (головоломка).......77 432
121. Как узник выш^&^на свободу?..........79 432
г л ,. в А ТРЕТЬЯ ГЕОМЕТРИЯ НА СПИЧКАХ
122. Пять головоломок................85 433
123. Еще восемь головоломок .............86 433
124. Из девяти спичек.................86 433
125. Спираль.....................87 433
126. Шутка......................87 433
127. Снять две спички.................87 433
С39
Задачи Решения
128. Фасад «дома».................. 87 433
129. Шутка...................... 88 433
130. Треугольники .................. 88 433
131. Сколько спичек надо убрать?........... 88 433
132. Шутка...................... 88 433
133. «Изгородь».................... 88 433
134. Шутка...................... 89 433
135. «Стрела»............,......... 89 433
136. Квадраты и ромбы................ 89 433
137. В одной фигуре разные многоугольники...... 89 433
138. Планировка сада................. 89 433
139. На равновеликие части.............. 90 433
140. Паркет...................... 91 433
141. Отношение площадей сохраняется......... 91 441
142. Найти очертание фигуры............. 91 441
143. Найти доказательство............... 92 441
144. Построить и доказать............... 92 441
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
СЕМЬ РАЗ ПРИМЕРЬ, ОДИН РАЗ ОТРЕЖЬ
145. На равные части................. 93 442
146. Семь розочек на торте.............. 95 443
147. Фигуры, потерявшие свое очертание........ 95 445
148. Посоветуйте................... 96 445
Г49. Без потерь! ................... 96 445
150. Когда-фашисты посягнули на нашу землю....... 97 447
л, 151. Воспоминания электромонтера........... 98 447
152. Все идет в дело ................. 99 447
153. Головоломка ................... 99 447
154. Разрубить подкову '................ 99 447
155. В каждой части — дырка . . ........... 99 448
156. Из «кувшина» — квадрат . ............ 100 448
157. Квадрат из буквы «Е» . . ............ 100 448
158. Красивое превращение............. . 100 449
159. Воестановление ковра............... 101 449
160. Дорогая награда ................. 101 449
161. Выручайте беднягу!................ 102 449
162. Подарок бабушке.....'....'........ 103 451
163. Задача столяра.................. 104 451
164. И у скорняка геометрия!............. 104 452
165. Каждому коню по конюшне............ 105 453
166. Еще больше!................... 105 453
167. Превращение многоугольника в квадрат ..... . 106 453
168. Превращение правильного шестиугольника в равносторонний треугольник.............. 107 453
ГЛАВА ПЯТАЯ
УМЕНЬЕ ВЕЗДЕ НАЙДЕТ ПРИМЕНЕНЬЕ
169. Где находится цель?............... 109 454
170. Пять минут на размышление........... 110 455
171. Непредвиденная встреча ............. 110 455
Т7/1
оадачи t-ешения
172. Путевой треугольник...............111 456
173. Попробуйте отвесить...............111 458
174. Передача ....................112 458
175. Семь треугольников................112 458
176. Полотна художника................112 458
177. Сколько весит бутылка?..............113 459
178. Кубики ....................113 460
179. Банка с дробью .................114 461
180. Куда пришел сержант?..............114 461
181. Определить диаметр бревна............115 461
182. Неожиданное затруднение.............115 461
183. Рассказ ученика технического училища......116 461
184. Можно ли получить 100% экономии?.......116 463
185. На пружинных весах................117 463
186. Конструкторская смекалка............. 117 463
187. Мишина неудача.................117 465
188. Найти центр окружности.............119 465
189. Какой ящик тяжелее?...............119 466
190. Искусство столяра................120 466
191. Геометрия на шаре................120 466
192. Нужна большая смекалка.............121 467
193. Трудные условия.................121 468
194. Сборные многоугольники.............122 468
195. Любопытный прием составления подобных фигур . 125 469
196. Шарнирный механизм для построения правильных многоугольников.................127 471
ГЛАВА ШЕСТАЯ
ДОМИНО И КУБИК А. Домино
197. Сколько очков?.................132 471
198. Два фокуса...................133 471
199. Выигрыш партии обеспечен............134 471
200. Рамка......................135 472
201. Рамка в рамке..................136 472
202. «Окошки»....................136 473
203. Волшебные квадраты из костей домино ...... 137 473
204. Волшебный квадрат с отверстием.........141 473
205. Умножешм в домино...............141 473
206. Отгадать з&т.уманную кость домино........142 473
Б. Кубик
207. Арифметический фокус с игральными кубиками . . 144 473
208. Отгадывание суммы очков на скрытых гранях . . . 145 477
209. В каком порядке расположены кубики?......145 478
ГЛАВА СЕДЬМАЯ
СВОЙСТВА ДЕВЯТКИ
210. Какая цифра зачеркнута?............149 478
211. Скрытое свойство ................152 479
212. Еще несколько забавных способов отыскания отсутствующего числа.................152 480
571
Задачи Решения
213. По одной цифре результата определить остальные
три.......................154 480
214. Отгадывание разности ..............154 481
215. Определение возраста ..............154 481
216. В чем секрет?..................154 482
ГЛАВА ВОСЬМАЯ
С АЛГЕБРОЙ И БЕЗ НЕЕ
217. Взаимная помощь.................159 482
218. Бездельник и чорт................160 483
219. Смышленый малыш................161 483
220. Охотники ....................161 483
221. Встречные поезда ................162 484
222. Вера печатает рукопись..............162 484
223. История с грибами................163 484
224. Кто вернется раньше?..............164 484
225. Пловец и шляпа.................164 486
226. Два теплохода..................165 486
227. Проверьте свою смекалку!............№5 487
228. Конфуз предотвращен ..............166 488
229. Во сколько раз больше?..............166 488
230. Теплоход и гидросамолет.............167 488
231. Велофигуристы на арене.............К57 489
232. Скорость работы токаря Быкова..........168 489
233. Поездка Джека Лондона .............168 489
234. Из-за неудачных аналогий возможны ошибки . . . 169 490
235. Юридический казус................170 491
236. Парами и тройками................171 491
237. Кто ехал на лошади?...............171 491
238. Два мотоциклиста.................171 492
239. В каком самолете володин папа?.........172 492
240. Раздробить на части...............173 493
241. Две свечи....................173 493
242. Удивительная проницательность..........173 493
243. «Верное время»................. 174 493
244. Часы ......................Г74 494
245. В котором часу?.................174 495
246. В котором часу началось и кончилось совеща-
ние? ...................... 175 496
247. Сержант тренирует разведчиков .........175 497
248. По двум сообщениям...............176 498
249. Сколько построили новых станций?........176 498
250. Выбрать четыре слова..............177 498
251. Допустимо ли такое взвешивание?.........177 499
252. Слон и комар...................178 500
253. Пятизначное число................179 500
254. Лет до ста расти „зам без старости........179 500
255. Задача Люка...................181 501
256. Своеобразная прогулка..............181 502
257. Одно свойство простых дробей..........№2 504
^70
МАТЕМАТИКА ПОЧТИ БЕЗ ВЫЧИСЛЕНИЙ
Задачи Решения
258. В темной комнате ....... 1»ч VK
ОСП П? •••••«••• -1ОО \AjjJ
-ЙУ. Яблоки .....................ig4 505
260. Прогноз погоды (шутка) ........'.'.'.'.'.' 184 505
261- День леса....................184 505
262. У кого какое имя?................185 505
А>д. Состязание в меткости..............ig6 506
264. Покупка................... " ]gg 506
2?5. Пассажиры одного купе.............i. 187 507
266. Финал турнира шахматистов Советской Армии ... 187 508
267- Воскресник ...................]88 509
Л». Как фамилия. машиниста?.............188 510
269. Уголовная история................igg 510
270. Сборщики трав .................189 510
271. Скрытое деление.................igo 511
272. Зашифрованные действия (числовые ребусы) .... 191 511
273. Арифметическая мозаика.............193 514
274. Мотоциклист и верховой.............194 517
275. Пешком и на автомобиле.............194 517
276. «От противного».................194 517
277. Обнаружить фальшивую монету..........195 518
278. Логическая ничья ................196 520
279. Три мудреца............'.'.'.'.'.'.'. 197 520
280. Пять вопросов для школьников..........197 520
281. Рассуждения вместо уравнения..........198 521
282. По здравому смыслу...............199 521
283. Да или нет?.................! ! 200 522
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИГРЫ И ФОКУСЫ ^у А. Игры
284. Одиннадцать п^кдметов , .............201 524
285. Взять спички по&едним..............202 525
286. Побеждает чет..................202 525
287. Цзяньшицзы...................202 528
288. Как выиграть?..................204 __
289. Выложить квадрат ................205 __
290. Кто первый скажет «сто»?............206 530
291. Игра в квадраты.................206 531
292. Оуа.......................209 —
293. «Математике» (итальянская игра).......... 212 __
294. Игра в волшебные квадраты...........213 __
295. Пересечение чисел................215 531
Б. Фокусы
296. Угадывание задуманного числа (7 фокусов).....219 534
297. Угадать результат вычислений, ничего не спрашивая 224 536
298. Кто сколько взял, я узнал ............226 536
Цена: 150руб.
