Предисловие к шестому изданию................... 5
Введение............................... 7
Глава первая. Системы линейных уравнений. Определители ..... 15
§ 1, Метод последовательного исключения неизвестных ..... 15
§ 2. Определители второго и третьего порядков ......... 23
§ 3. Перестановки и подстановки ................ 28
§ 4. Определители м-го порядка................ . * 37
§ 5. Миноры и их алгебраические дополнения.......... 43
§ 6. Вычисление определителей................. 46
§ 7. Правило Крамера ..................... 53
Глава вторая. Системы линейных уравнений (общая теория)..... 60
§ 8. n-мерное векторное пространство.............. 60
§ 9. Линейная зависимость векторов.............. 63
§ 10. Ранг матрицы •.............. -........ . 70
§ 11. Системы линейных уравнений ............... 77
§ 12. Системы линейных однородных уравнений ......... 83
Глава третья. Алгебра матриц . . .................. 89
§ 13 Умножение матриц.............'........ 89
§ 14. Обратная матрица.....;................. 95
§ 15. Сложение матриц и умножение матрицы на число ..... 102
v § 16*. Аксиоматическое построение теории определителей ..... 105
Глава четвертая. Комплексные числа................. 110
§'17. Система комплексных чисел................ 110
" § 18. Дальнейшее изучение комплексных чисел.......... 115
§ 19. Извлечение корня из комплексных чисел.......... 123
Глава пятая. Многочлены и их корни................ 130
§ 20 Операции над многочленами....... ......... 130
§ 21. Делители. Наибольший общий делитель .......... 135
§ 22. Корни многочленов............... ^ ..... 143
§ 23. Основная теорема...................... 147
§ 24. Следствия из основной теоремы.............. 156
§ 25*. Рациональные дроби.................... 161
Глава шестая. Квадратичные формы.................. 160
§ 26. Приведение квадратичной формы' к каноническому виду . . 166
§ 27. Закон инерции........... ........... 174
§28. Положительно определенные формы ............ .179
Глава седьмая. Линейные пространства............... 184::
§ 29. Определение линейного пространства. Изоморфизм . . . . . 184
§ 30 Конечномерные пространства. Базы............. 188
§31. Линейные преобразования................. 194
§ 32*. Линейные подпространства ................ 201 ,
§ 33 Характеристические корни и собственные значения..... 206
Глава восьмая. Евклидовы пространства.................. 211
§ 34. Определение евклидова пространства. Ортонормированные
базы................................ 211
§ 35. Ортогональные матрицы, ортогональные преобразования . . . 217
.§ 36. Симметрические преобразования................. 222
§ 37. Приведение квадратичной формы к главным осям. Пары форм 226
- Глава девятая. Вычисление корней многочленов.............. 233
§ 38*. Уравнения второй, третьей и четвертой степени........ 233
§ 39. Границы корней.......................... 241
§ 40. Теорема Штурма.......................... . 246
§ 41. Другие теоремы о числе действительных корней........ 252
§ 42. Приближенное' вычисление корней................ 259
Глава десятая. Поля и многочлены..................... 266
§ 43. Числовые кольца и поля..................... 266
§ 44. Кольцо............................... 270
§ 45. Поле................................. 276
§ 46*. Изоморфизм колец (полей). Единственность поля комплексных
чисел................................ 281
§ 47. Линейная алгебра и алгебра многочленов над произвольным
полем .....-...•......................... 285
§ 48. Разложение многочленов на неприводимые множители..... 290
§ 49*. Теорема существования корня........'.......-. . . 298
§ 50*. Поле рациональных дробей ............-....... 305
Глава одиннадцатая. Многочлены от нескольких неизвестных...... 312
§ 51. Кольцо многочленов от нескольких неизвестных........ 312
§ 52. Симметрические многочлены.................... 321
§ 53*. Дополнительные замечания о симметрических многочленах . 328 § 54*. Результант. Исключение неизвестного. Дискриминант .... 334 § 55*. Второе доказательство основной теоремы алгебры комплексных чисел............................. 345
Глава двенадцатая. Многочлены с рациональными коэффициентами . . . 350
§ 56*. Приводимость многочленов над полем рациональных чисел . 350
§ 57*. Рациональные корни целочисленных многочленов ...... 355
§ 58*. Алгебраические числа ...................... 358
Глава тринадцатая. Нормальная форма матрицы ............. 364
§ 59. Эквивалентность Я-матриц..................... 364
§ 60. Унимодулярные ^.-матрицы. Связь подобия числовых матриц
с эквивалентностью их характеристических матриц...... 371
§ 61. Жорданова нормальная форма.................. 379
§ 62. Минимальный многочлен ..................... 387
Глава четырнадцатая. Группы........................ 392
§ 63. Определение и примеры групп.................. 392
§ 64. Подгруппы ............................. 398
§ 65. Нормальные делители, фактор-группы, гомоморфизмы..... 404
§ 66. Прямые суммы абелевых групп................. 410
§ 67. Конечные абелевы группы . . . -................. 417
Указатель литературы .............._.............. 425
Предметный указатель............................ 427
ПРЕДИСЛОВИЕ К ШЕСТОМУ ИЗДАНИЮ
Первое издание этой книги выщло в 1946 г., а затем она переиздавалась в 1950, 1952, 1955 и 1956 гг. Перед вторым и четвертым изданиями книга подвергалась значительной переработке, имевшей целью отразить опыт алгебраического преподавания в Московском университете. При подготовке к настоящему шестому изданию книга подвергалась еще более серьезной переработке, столь серьезной, что с достаточными основаниями ее можно было бы считать новой книгой, а не шестым изданием старой книги.
Эта переработка определялась двумя задачами. Прежде всего, неоднократно высказывались пожелания о расширении книги для того, чтобы она обеспечивала весь обязательный университетский курс высшей алгебры, а не только его первые два семестра, как это было до сих пор. С этой целью в книгу включено несколько новых глав. Одна из них посвящена основам теории групп, а остальные относятся к линейной алгебре — теория линейных пространств, теория евклидовых пространств, теория Х-матриц и жордановой нормальной формы матриц.
Конечно, в советской алгебраической литературе в настоящее время имеется ряд хороших книг по линейной алгебре, различных по объему, содержанию, характеру изложения. Настоящая книга, даже после столь значительного добавления к ней материала, относящегося к линейной алгебре, не может претендовать на замену какой-либо из этих книг. Тем не менее бесспорно, что студентам будет удобно иметь весь обязательный материал собранным в одном учебнике и изложенным единым стилем.
С другой стороны, расположение глав, принятое в предшествующих изданиях книги, уже давно не соответствует действующему в Московском университете фактическому порядку изложения материала — этот последний в большой мере определяется необходимостью к определенному сроку выполнять определенные заказы курсов аналитической геометрии и математического анализа. Больше того, три года тому назад в Московском университете была введена новая программа курса высшей алгебры. За эти годы она успешно прошла испытания и поэтому казалось целесообразным перестроить книгу, расположив в ней материал в точном соответствии с указанной программой. Появление учебника, соответствующего этой
Цена: 150руб.
