От автора ..........•••••. 7
ГЛАВА I '
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
§ 1. Некоторые подходы к определению вероятностей . . 9 1. Равновероятные исходы (9). 2. Один практический пример (выборочный метод) (11). 3. Некоторые задачи' о случайных размещениях (12). 4. Условные вероятности (14). 5. Независимость событий (17). 6. Вероятность и частота (18).
§ 2. Некоторые вероятностные модели....., 22
1. Схема со счетным числом возможных исходов (22).
2. Испытания Бернулли (24). 3. Предельная теорема Пуассона (26). 4. Схема с конечным числом событий. Понятие независимости (30). 5. Общая вероятностная модель. Последовательности событий (31).
§ 3. Условные вероятности .......... 34
1. Формула полной вероятности (34). 2. Примеры использования условных вероятностей (35). 3. Наилучший прогноз событий (39).
§ 4. Дискретные случайные величины ...,.., 43 1. Примеры. Некоторые определения (43). 2. Математическое ожидание (45). 3. Примеры использования среднего значения (49). 4. Условные распределения и условные математические ожидания (53).
§ 5. Непрерывно распределенные случайные величины . , 55 1. Примеры. Плотность вероятности и математическое ожидание (55). 2. Условная плотность вероятности и условное математическое ожидание (64). 3. Нормальное распределение вероятностей (66).
§ 6. Математическое ожидание и среднеквадратическое расстояние .............. 70
1. Общее определение математического ожидания (70).
2. Некоторые формулы для математических ожиданий (73). 3. Среднеквадратическое расстояние (76). 4. Нормальная корреляция (80). 5. Некоторые задачи о наилучших оценках ^83).
§ 7. Распределения вероятностей и характеристические
функции .... ..... ..... 87
1. Сходимость случайных величин и их средних значений (87). 2. Слабая сходимость распределений вероятностей (91). 3. Метод характеристических функций (94). 4. Критерий слабой сходимости (100). 5. Формулы Для моментов и асимптотические разложения (101).
1*
§ 8. Законы больших чисел и центральная предельная ;
теорема ............... 102 "
1. Вероятность и частота (102). 2. Закон больших чп- >
сел (104). 3. Усиленный закон больших чисел (105).
4. Центральная предельная теорема (107).
г л А в А II "
НЕКОТОРЫЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
§ 1. Последовательности событий и случайных величин,
связанных в цепь Маркова........НО i
1. Вероятности перехода (от одного состояния к другому) (110). 2. Возвратные и невозвратные состояния (113). 3. Случайные блуждания (115). 4. Классифика- :
ция состояний (117). 5. Сходимость к стационарному •
распределению (119). :
§ 2. Однородные марковские процессы со счетным числом
состояний............. 125
1. Примеры. Марковское свойство (125). 2. Метод диф- ;
ференциальных уравнений (132). 3. Пуассоновский процесс (135). 4. Сходимость к стационарному процессу ; (138). i
§ 3. Ветвящиеся процессы .......... 140
1. Метод производящих функций (140). 2. Дифференциальные уравнения для производящей функции (143). '. 3. Вырождение процесса и явление взрыва (147).
§ 4. Некоторые процессы массового обслуживания и слу- '•
чайные блуждания (процессы восстановления) . . . 148 ,
§ 5. Броуновское движение..........152 ;'
1. Общее описание (152). 2. Некоторые свойства траек- i
торий броуновского движения (154). 3. Распределение '*
максимума и момента первого достижения (160).
ГЛАВА III ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКУЮ СТАТИСТИКУ :
§ 1. Не'которые примеры статистических задач и методов 163 i 1. Оценка вероятности в схеме испытаний Бернулли ^
(163). 2. Оценка параметра пуассоновского процесса (165). 3. Сравнение вероятностей (167). 4. Оценка параметров по выборке из нормальной совокупности (170).
5. Критерий хи-квадрат для проверки вероятностей (174). 6. Проверка независимости (177). 7. Выбор между двумя конкурирующими гипотезами. Последовательный анализ (177). 8. Байесовский подход к проверке гипотез и оценкам параметров (182). 9. Метод наибольшего правдоподобия (184). 10. Метод наименьших квадратов (186). 11. Выборочные распределения и метод моментов (191). 12. Метод стохастической аппроксимации (193). , . .
§ 2. Некоторые принципы оптимальности статистических
решений..............ini
1. Наиболее мощный критерий (194). 2. Достаточные статистики (196). 3. Достаточные статистики и улуч-
шенные оценки (200). 4. Информация Фишера и неравенство для среднеквадратических ошибок (203). 5. Асимптотическая нормальность и эффективность оценок наибольшего правдоподобия (205).
ГЛАВА IV
НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ К ТЕОРЕТИКО-ВЕРОЯТНОСТНЫМ ОСНОВАМ
§ 1. Общие распределения вероятностей ...... 211
1. Расстояние между событиями и основанные на нем аппроксимации (211). 2. Отображения и порождаемые ими а-алгебры (213). 3. Понятие независимости (215). 4. Случайные величины и их распределения (215-).
§ 2. Математическое ожидание как интеграл Лебега . . 218
§ 3. Пространства 2?? (p = i, 2)........220
1. Определение^ Полнота пространств З?Р (220). 2. Гильбертово пространство 3"2 (224).
§ 4. Условные вероятности и условные математические ожидания ...............226
1. Некоторые предварительные замечания (226). 2. Общее определение условного математического ожидания и его основные свойства (227). 3. Условные вероятности (230). 4. Дальнейшие свойства условных математических ожиданий (231).
§ 5. Компактность распределений и критерий положительной определенности для характеристических функций 233
1. Слабая сходимость функций распределений (233).
2. Сходимость характеристических функций и критерий положительной определенности (235).
ГЛАВА V
ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕГО СТОХАСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
§ 1. Ряды из независимых величин...... . 240
1. Общий закон «нуля или единицы» (240). 2. Сходи-, мость рядов из независимых величин (241).
§ 2. Случайные функции .......... 244
1. Некоторые общие понятия (244). 2. Случайные процессы как функции в пространстве З?Р (246).
§ 3. Стохастические интегралы.........250 ч
1. Простейшая конструкция стохастического интеграла (250). 2. Некоторые обобщения стохастического интеграла (255). 3. Канонические представления случайных процессов (256).
§ 4. Стохастический интеграл Ито ....... 259
1. Определение и основные свойства (259). 2. Сто-г хаотические дифференциалы (263).
§ о. Стохастические дифференциальные уравнения ... 265 1. Линейные уравнения (общее решение) (265). 2. Сходимость к стационарному процессу в устойчивых линейных системах (268).
S о. Приложение. Одна задача фильтрации случайного про-
Чесса......Т ........ 273
г л А в A vi
НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
§ 1. Процессы с независимыми приращениями .... 282
1. Стохастическое интегральное представление (282).
2. Характеристические функции приращений (286).
S 2. Мартингалы........... 287
1. Определение. Сходимость в 22 (287). 2. Моменты' остановки (289). ,
§ 3. Марковские процессы ......... 292
1 Общее понятие. Переходная плотность (292). 2. Дифференциальные уравнения Колмогорова (294).
§ 4. Стационарные процессы.........2Э'
1. Спектральное представление и линейные прео'бра-зования (297). 2. Эргодическая теорема и ее применения (302). 3. Стационарные в узком смысле процессы. Эргодичность (304).
Предметный указатель .,,.-..... 31 >
ОТ АВТОРА
Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика составляют обширные области математики и ее приложений. Их развитие неразрывно связано с общим развитием науки и техники, в котором все более обозначается необходимость давать надлежащую вероятностную интерпретацию самым разным явлениям и процессам. Теория вероятностей и случайных процессов предлагает разнообразные математические модели для типичных случайных явлений и их эволюционного развития, в рамках этих моделей изучает присущие им вероятностные закономерности, разрабатывает методы решения таких важных для приложений задач, как задачи прогнозирования, управления и др. Математическая статистика решает задачи оценивания отдельных параметров и структуры в целом той или иной вероятностной модели по статистическим данным, дает методы проверки различных гипотез, рекомендует правила планирования самого эксперимента для получения необходимых статистических данных.
Настоящая книга представляет собой единый учебный курс теории вероятностей, случайных процессов и математической статистики для физико-математических отделений университетов и вузов с повышенной математической подготовкой.
Первая часть книги, охватывающая довольно большой и разнообразный материал (гл. I—III), может служить учебным пособием и для других вузов (где математика вовсе не является профилирующей дисциплиной). В ней много сравнительно простых и естественных по своей постановке задач, приводящих к различным моделям теории вероятностей и случайных процессов, в применении к которым и развиваются осповпые вероятностные понятия и методы (гл. I, II); это относится также к понятиям и методам математической статистики (гл. III). Для активного овладения материалом здесь не требуется высокой математической подготовки — в пер-
Цена: 150руб.
