Предисловие............................. 5
Введение ............................... 9
Глава I Элементы тензорного исчисления
§ 1. Криволинейные системы координат............... 13
§ 2. Преобразование координат ................... 20
§ 3. Понятие о тензорах и основы алгебры тензоров......... 23
§ 4. Тензоры второго ранга..................... 32
§ 5. Тензорные функции....................... 44
§ 6. Функции нескольких тензоров.................. 60
§ 7. Потенциальные тензорные функции............... 65
§ 8. Дифференцирование тензоров по пространственным координатам . . 70
§ 9. Тензор Римана — Кристоффеля................. 74
§ 10. Дифференцирование тензоров по параметру........... 78
Глава II Кинематика деформируемой среды
§ 1. Общие свойства непрерывных деформаций ........... 92
§ 2. Аффинные деформации..................... 95
§ 3. Непрерывные конечные перемещения сплошной среды...... 101
§ 4. Тензорные характеристики деформации............. 104
§ 5. Вектор вращения осей деформации............... 114
§ 6. Кинематические тензоры, характеризующие деформацию..... 117
§ 7. О дифференцировании нелинейных тензорных функций...... 121
§ 8. Условия совместности...................... 128
Глава III Динамические и термодинамические уравнения
§ 1. Физические предпосылки.................... 131
§ 2. Понятие материального континуума............... 135
§ 3. Уравнения неразрывности.................... 136
§ 4. Динамические уравнения.................... 140
§ 5. Теорема живых сил и работа внутренних поверхностных сил . . . 152 § 6. Термодинамические системы и циклы, уравнение закона сохранения энергии и понятие о внутренней энергии системы...... 155
§ 7. Основные понятия и следствия, связанные со вторым законом
термодинамики ......................... 164
§ 8. Идеальные жидкости и газы................... 171
§ 9. Простейшие идеальные процессы................ 181
§ 10. Специальные примеры идеальных сжимаемых сред........ 185
§ 11. Уравнения движения газовых смесей с физико-химическими взаимодействиями между компонентами............... 190
§ 12. Вязкие жидкости и газы.................... 210
§ 13. Турбулентные движения сплошных сред............. 213
§ 14. Модель упругого тела...................... 217
§ 15. Термоэластические изотропные среды.............. 234
§ 16. Замечания о механических моделях с необратимыми процессами . 241
§ 17. Пластические, упругие и полные деформации.......... 246
§ 18. Упругая область и поверхность нагружения........... 253
§ 19. Основные законы в теориях пластических тел.......... 258
§ 20. Модели пластических сред, для которых поверхность нагружения
имеет угловые точки...................... 271
Литература.............................. 277
Предметный указатель........................ 281
ПРЕДИСЛОВИЕ
Теоретическое и экспериментальное исследование движений и различных физико-химических процессов в деформируемых телах связано с введением, изучением и использованием многих характерных понятий, математических методов описания и законов природы, приводящих к формулировке замкнутых систем уравнений. При этом следует руководствоваться тем, что постановка и разрешение задач теоретическо! о описания различных явлений в окружающем нас мире всегда связаны с введением схематизированных моделей и идеальных процессов, соответствующих в требуемом смысле (определяемом характером рассматриваемых проблем) наблюдениям и опытам с реальными телами.
Как известно, система дифференциальных или вообще функциог нальных уравнений называется замкнутой, когда число независимых уравнений равно числу искомых величин — функций. Выделение фиксированных замкнутых систем уравнений позволяет ставить и изучать многие классы задач. При теоретическом разрешении конкретных задач необходимо опираться на замкнутую систему уравнений и на различного рода дополнительные условия, например: начальные и граничные условия, условия стационарности, условия непрерывности и условия на разрывах, условия в бесконечности и т. д. Явная формулировка всех уравнений и дополнительных условий, определяющих единственное решение — ответы на поставленные вопросы, составляет постановку задачи. Правильная постановка задачи является важнейшим шагом, обеспечиваюшим успех исследования. Недостаточность определяющих условий может привести к неединственности решений и всякого рода «парадоксам»; наоборот, чрезмерная жесткость или наличие лишних требований может привести к отсутствию существования искомого решения.
Проблема правильной постановки задач во многих случаях трудна и является основным предметом исследований.
В книге излагаются теоретический аппарат, основные физические представления и принципы, которые используются при построении моделей материальных тел, заполняющих пространство непрерывным.
т. е. сплошным образом. Рассматриваются различные примеры сплошных сред и типичные процессы, однако свойства частных процессов не исследуются и решения конкретных задач о движении сплошных сред не даются.
Подобного рода ограничение, сознательно принятое, позволяет изложить основы механики сплошной среды в единой трактовке и отделить проблемы, связанные с постановкой задач механики сплошной среды, от методов и результатов решения этих задач. Решению конкретных задач в настоящее время посвящены весьма многочисленные исследования, обозримые практически только в пределах определенных классов задач и только применительно к специальным проблемам.
Существенным элементом развиваемых ниже теорий является отсутствие предположения о геометрической малости деформаций частиц среды — предположения, обычно весьма распространенного в теории упругости, пластичности и других теориях.
Учет конечности деформаций сильно усложняет теорию, однако во многих современных актуальных практических задачах это усложнение необходимо, поэтому в книге развивается геометрически и динамически нелинейная механика. х
Учет конечности относительных перемещений и деформаций частиц тела необходим в исследованиях некоторых задач теории упругости для таких тел, как резина, для пластических течений твердых тел, для описания деформаций полимерных материалов, очень часто для жидких и газообразных тел и т. д. и т. п.
Предлагаемая нами трактовка геометрических и кинематических характеристик движений с конечными деформациями по форме и по качеству содержит некоторые новшества. В частности, мы рассматриваем в явном виде определение различных тензоров в разных пространствах, определенных последовательностью деформированных состояний. Мы рассматриваем тензоры как инвариантные объекты, представляемые в виде символических сумм вида
Т= Г.$ЭяаРэг (1)
где 7°р7 — компоненты тензора, а Э« и Э" (а = 1, 2, 3) — ковариант-ные и контравариантные векторы координатного базиса.
Такое представление обычно для векторов. Подобное представление для диад— тензоров второго ранга широко использовано М. Лагалли [69]. Использование представления вида (1) для тензоров вносит существенные упрощения в развитие теории операций над тензорами, особенно в теорию дифференцирования тензоров по координатам или по скалярным параметрам, когда векторы базисов переменны, и в частности, при одновременном рассмотрении данного тензора в различных движущихся друг относительно друга базисах.
пгедииливив /
Первые две главы посвящены теории тензоров и кинематическим приложениям, причем основное внимание уделяется малоизвестной теории нелинейных тензорных функций.
Значительная часть излагаемого материала до сих пор была опубликована только в журнальных работах специального характера, некоторые результаты публикуются впервые.
Динамические и термодинамические законы излагаются в третьей главе.
Читатель, знакомый в общих чертах с теорией тензоров, может пропустить первые две главы и без особых затруднений начать читать книгу с третьей главы.
Для лиц, желающих вести исследовательскую работу по дальнейшему развитию динамической и термодинамической теории или желающих решать конкретные теоретические задачи о движении сплошной среды с конечными деформациями, материал двух первых глав необходим.
В предлагаемой книге нет исторических сведений и нет сколько-нибудь полного обзора опубликованной литературы по рассматриваемым вопросам!).
В качестве иллюстраций, представляющих также большой самостоятельный интерес, в книге рассмотрены некоторые примеры классических применяемых и новых разрабатываемых моделей сплошных сред для газов, жидкостей и твердых тел. В частности, рассмотрена современная проблема о построении модели сплошной среды для пластического тела.
') Ограничимся только следующей небольшой справкой.
Теория конечных деформаций и соответствующие общие геометрические и динамические соотношения и уравнения изучались с самого начала развития механики сплошной среды. Уже у Кирхгофа [65] эти теории были в значительной степени разобраны. Результаты работ, выполненных в 19-м и в начале 20-го столетия, изложены в известной книге Лява [20]. В последнее время отмечается дальнейшее развитие и приложение теории конечных деформаций как в теории упругости, так и в теории моделей сплошных сред с необратимыми процессами. Значительный вклад в развитие нелинейной теории упругости содержится в работах Ф. Д. Мурнагана [73,74], д. Синьо-рини [92] и В. В. Новожилова [23].
Развитие теории нелинейных тензорных функций и полный исторический обзор теоретических работ, опубликованных до 1953 года, содержится в мемуарах К. Трусделла [96]. В последнее время теория нелинейных тензорных связей разрабатывалась в работах Р. С. Ривлина [85,86], и Л. Эрик-сена [52,51], Д. Е. Грина р4], М. Рейнера [82,83] и многих других авторов.
Реологическим, термодинамическим и статистическим исслед в пням посвящено огрсмюе количество научных работ, некоторые из которых указаны в списке литературы в конце книги (этот список не является в какой-либо степени полным). Отметим еще замечательный курс механики сплошной среды Мориса Руа [м], в котором уже осуществлено тесное объединение механики и макроскопической термодинамики.
Цена: 150руб.
