Настоящее учебное пособие предназначается студентам высших технических учебных заведений. В нем излагаются все во-цросы математического анализа, которые изучаются во втузах.
При написании этого пособия авторы опирались на свой многолетний опыт работы со студентами-физиками МГУ, студентами МИФИ и МФТИ. Данное пособие продолжает и разнимает методические установки книги Б. Л. Рождественского «Лекции по математическому анализу» (М., Наука, 1972).
Авторы стремились к тому, чтобы изложение материала было кратким, но доступным широкому кругу читателей. Построение курса анализа, характер изложения его и расположение материала в этой книге во многом являются не традиционными. Например, теория последовательностей и теория рядов излагаются одновременно. Понятия производной, неопределенного и определенного интегралов также вводятся одновременно, и их свойства изучаются в совокупности. Вводятся и изучаются два типа определенных интегралов: интеграл Ньютона (радный приращению первообразной) и интеграл Римана. Несколько новых методических подходов применяется и при изложении математического анализа в случае,функций нескольких переменных.
Эти и другие отклонения от традиций позволяют, во-первых, с большей логической стройностью и без повторений провести изложение предмета и, во-вторых, раньше сообщить студентам сведения из математического анализа, необходимые им при изучении физики и ряда инженерных дисциплин. Наконец, принятая схема изложения существенно сокращает объем книги.
В процессе педагогической работы, чтения лекций и работы цад этой книгой авторы обсуждали разные вопросы математического анализа со многими своими коллегами и друзьями, пользовались их советами. В первую очередь, авторы благодарят сотрудников кафедр прикладной математической физики и высшей математики МИФИ, сотрудников кафедры высшей математики МФТИ, а также сотрудников ИПМ им. М. В. Келдыша АН СССР.
Авторы особенно благодарны профессору Д. А. Василькову за его многочисленные советы и большую помощь в работе над этой книгой.
А. П. Карташев, Б. Л. Рождественский
Предисловие . . . ............« 6
5 Глава!. Элементы теории множеств.......... 7
°*> § 1. Понятие множества. Простейшие операции над множествами 7
t § 2. Отображения множеств........... 8
§ 3. Счетные множества......'...... 10
Глава 2. Вещественные и комплексные числа. Метрические пространства................. '13
§ 1. Понятие вещественного числа . ........ 13
§ 2. Арифметические операции над вещественными числами . 18
§ 3. Ограниченные подмножества -множества вещественных чисел 19 § 4. Свойство полноты множества вещественных чисел . . .21
* § 5. Комплексные числа............. 22
§ 6. Метрические- пространства.......... 24
Глава 3. Числовые последовательности и ряды...... 29
§ 1. Сходящиеся последовательности........ 29
§ 2. Простейшие свойства сходящихся последовательностей . . 31 '• § 3. Бесконечно малые последовательности. Последовательности,
• сходящиеся к ±оо............. 35
§ 4. Подпоследовательности. Теорема Больцаио — Вейерштрасса 36
§ 5. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши . . 39
§ 6. Числовые ряды............. 40
Глава 4. Предел функции. Непрерывные функции ..... 59
х § li Функции одного вещественного переменного . . . ... 59
, § 2. Предел функции.....-...-..'..... 60
- § 3. Непрерывные функции ........... 66
§ 4. Свойства функций, непрерывных на отрезке..... 70
k § 5. Монотонные функции .......... 74
1 § 6. Элементарные функции и ах непрерывность..... 77
§ 7. Вычисление некоторых пределов .'....... 83
§ 8> Сравнение функций с точки зрения предельного перехода . 85
* § 9. Функциональные последовательности и ряды ..... 87
- Jf л а в а 5. Дифференцирование и интегрирование функций одного
- . переменного............... 99
§ 1. Понятие производной........... 99
§ 2. Механический и геометрический смысл производной . . 101
§ 3. Правила дифференцирования......... 102
§ 4. Дифференцируемость элементарных функций . . . . 106
| 5. Дифференциал функции.......... 108
5 6. Теоремы о среднем значении для дифференцируемых
функций............... 110
§ 7. Первообразная и неопределенный интеграл..... - 115
§ 8. Определенный интеграл Ньютона....... 119
! 9. Теоремы о среднем для определенного интеграла Ньютона 122
§ 10. Производные любого порядка .......... 125
§ 11. Дифференциалы любого порядка . ....... 127
§ 12. Дифференцирование и интегрирование функциональных последовательностей и рядов.......... . 130
Глава 6. Формула Тейлора. Ряд Тейлора. Степенные ряды . . . 135
§ 1. Формула Тейлора............. 135
| 2. Ряд Тейлора. Ряды Тейлора для некоторых элементарных
. функций............... 138
§ 3. Степенные ряды с вещественными членами, . . . . . 142
§ 4- Степенные ряды с комплексными членами . . . . . 147
Глава 7. Применение понятий дифференциального исчисления для
нахождения пределов и исследования функций..... 154
§ 1. Правило Лопиталя . . . . . ........ 154
§ 2. Нахождение пределов функций с помощью формулы Тейлора . . . . . " . . . . . . . . . . ... . 158
§ 3. Исследование функций........ . . • . 159
Г д а в а 8. Определенный интеграл Римана . . ..... 167
§ 1. Определение интеграла Римана. Необходимые и достаточные
условия интегрируемости . . . ....... 167
§ 2. Простейшие свойства интеграла Римана -...... 176
§ 3. Классы функций, интегрируемых по Римаву..... 181
§ 4. Теоремы о среднем для интеграла Римана..... 183
§ 5. Свойства интеграла Римана-.....v- • •. ' . 185
8 §. Понятие обобщенной первообразной....... 191
§ 7- Несобственные интегралы.......... 193
| 8. Приближенное вычисление интегралов ....... 203
§ 9. Вычисление длин, площадей и объемов . . . . , . . 207
Глава 9. Техника интегрирования • >• • • • • • • • 211
§ 1. Задача нахождения первообразной ,....... 211
§ 2. Интегрирование рациональных функций...... 212
§ 3. Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных '
функций . . . . . . . . . . . . . . . 224
J 4. Интегрирование комплексных функций вещественного переменного . , . . . . . .' '• . . . . . . . 227
Глава 10. Вектор-функций одного вещественного переменного. Кривые на плоскости и в пространстве . ... . . ... 230
§ \. Вектор-функции одного вещественного переменного . . . 230
| 2. Кривые в трехмерном евклидовом пространстве .... 234
Глава 11. Функции нескольких переменных . . . . . . . 251
8-..1. Сходящиеся последовательности точек в евклидовом про-
^ странстве............... 251
1 § 2. Предел функции нескольких переменных..... 253
§ 3. Непрерывные функции нескольких переменных . . . 258.
§ 4. Дифференцирование функций нескольких переменных . 261
§ 5. Производные и дифференциалы любого порядка . . , 271
§ 6. Формула Тейлора для функций нескольких переменных 279
§ 7. Локальный экстремум функций нескольких переменных . 277
Глава 12. Вектор-функции нескольких переменных. Криволинейные
интегралы'........ . . ," . . , '. . 284
§ 1. Вектор-функции нескольких переменных ...... 284
f_jj. Криволинейные интегралы в трехмерном евклидовом пространстве , . , . .•,.,» -, , t • 1 :' 288
i в а 13. Неявные функции. Условный экстремум , . . . . 292
1. Основные теоремы о неявных функциях...... 292
2. Дифференцируемые отображения и их якобианы..... 302
3. Зависимость функций . .......- • - - v • 305
4 Дриближенное решение уравнений......• - 309
5. Условный экстремум.......-. • • • 316
IB a 14 Кратные интегралы я. их приложения..... 320
1. Двойные интегралы............ 320
2. Формула Грина. Условия потенциальности векторного поля
на плоскости........ . . . . . . ..331
3. Формула замены переменных в двойном интеграле. . . . 338 4 Интегралы, зависящие от параметра . . ... . . 340
,5. Несобственные двойные интегралы....... 350
в. Поверхность в трехмерном евклидовом пространстве . . 353
»'7. Интегралы по поверхности........ • • 365
8. Формула Стокса. Условия потенциальности векторного поля
в пространстве . . ....... • • • 368
'9. Тройные интегралы............ 373
10. Формула Остроградского . • . • ^ • • • • • - • 378
t» а 15. Ряды Фурье. Интеграл -Фурье . . . ,''. . . . . 383
}•!. Тригонометрические ряды Фурье ........ 383
2. Ряды Фурье по ортогональной системе функций .... 393
13. Сходимость в среднем ... . . . . . . • • . 397
| 4. Достаточные условия равномерной сходимости тригономет-1
рического ряда Фурье........; . • 400
I 5. Тригонометрические ряды в комплексной форме . . • . ._ 402
Интеграл Фурье............. 404
}ва 16. Интеграл Лебега ..*....,..., 408
1. Множества меры нуль............ 408
2. Последовательности ступенчатых, функций -, ' . • . .410
3. Понятие интеграла Лебега . . ........ 412
4 Измеримые функции и измеримые множества . . . . 418
5, Пространство Ьг([а, Ъ})........ . •. 419
it в а 17. Элементы тензорного. анализа . . . . . - . . . ,422
-8 1. Тензоры на поверхности . . ......... 422
{ 2. Тензоры на дифференцируемом многообразии . . . . , 430
1 3. Рийановы пространства. Ковариантпое дифференцирование 434
дметпый указатель , , . . , , . ,...... • 445
Цена: 150руб.
