Приступая .к решению проблем, мы не ищем и не избегаем математических вы-
кладок, а смотрим на них только с точки
....... зрения их пользы для естественных наук.
Лорд Ке ль вин и П. Г. Тэт,«Введение в натуральную философию», ч. II.'
, Основная цель этой книги заключается в .том, чтобы подготовить читателя к математическому исследованию технических , задач. Очень часто говорят, что современный инженер всё более и более нуждается в математике. Тем не менее, всем хорошо известие, что большинство инженеров использует только малую долю познаний, почерпнутых из математических курсов, прослушанных в высшей школе. Создается впечатление, что объём математических сведений, входящих в программы, ''соответствует .в основном необходимости, но что у учащихся не развито , в достаточной мере умение самостоятельно формулировать математик ческое содержание заданной физической или технической задачи. Дру-' гими словами, существует потребность не столько в том, чтобы дать «побольше математики», сколько в том, чтобы получше пояснить возможности eg применения. .
Существует два пути обучения искусству приложения математики к техническим задачам. Первый состоит в построении систематического курса, содержащего избранные разделы математики и включающего в себя специально подобранные примеры приложений. Следуя же второму пути, выбирают^ некоторые показательные группы технических задач и демонстрируют математические приёмы, ведущие к и* разрешению. Существует много превосходных книг, которые следуют первому пути./ : Настоящая книга должна быть рассматриваема как опыт, проводимый в направлении второго метода. Конечно, было бы неблагоразумно проводить этот метод, доводя его до крайности; поэтому некоторые частя этой книги посвящены в основном изложению математического материала. Тем не менее, даже и в этих частях математические понятия изложены в большей мере с точки зрения их приложений, чем с точки зрения их чисто логического развития.
Чтобы придать книге разумные размеры, выбор материала был . ограничен, /хотя авторы и сознают, что, например, изучение уравнений в частных производных, интегральных уравнений,' теории7функций комплексного/ переменного, векторного и тензорного анализа было бы весьма' желательно для завершения математического вооружения инженера, Занимающегося разработкой научных вопросов.
Для понимания математического материала этой книги необходимо предварительное знакомство с элементами дифференциального и \ интегрального исчислений, аналитической геометрии и высшей алгебры (включающей теорию определителей, системы линейных уравнений и некоторые сведения об алгебраических уравнениях). Предполагается также, что читатель владеет, элементарными операциями над комплексными числами. Предварительное' знакомство с теорией дифференциальных уравнений не является необходимым.
Первые две главы, излагающие теорию дифференциальных уравнений и функций Бесселя, имеют в основном математический характер.
В последующих главах авторы стремились включить математический материал в изложение тех технических и физических задач, для решения'которых этот математический материал необходим. Читатель отметит, что'эллиптические интегралы, например, изложены в связи с классической задачей о колебаниях маятника и что векторная алгебра появляется в главе, излагающей основные понятия динамики. Эта глава была включена потому, что, по мнению авторов, теоретическая механика не занимает обыкновенно в , учебном плане технического учебного заведения того места между физикой и прикладной механикой, которое должна занимать. Преподаватель, который избегает vуравнений Лагранжа, может опустить последние параграфы третьей главы.' Примеры, приведённые в пятой и шестой главах, в которых используются уравнения Лагранжа, могут быть изложены и без связи с методом Лагранжа. Тем не менее, авторы считают, что знакомство с обобщёнными координатами, обобщёнными силами и другими понятиями механики Лагранжа является Существенным преимуществом для инженера с научными склонностями. Большинство задач, детально изложенных в тексте, взято из теоре-| тической механики (динамика точки и твёрдого тела) и из прикладной § теории упругости; значительнр меньше задач взято из теории электри-*• ческих цепей. Многие задачи из теории механических колебаний легко могут быть превращены в Задачи теории колебаний 'в электрических системах. ,
Задачи, приведённые в конце каждой главы, содержат, помимо упражнений в математических операциях, дополнительные приложения математики к различным' вопросам техники, например, к гидромеханике, к теории теплопроводности и т. п.
Мы просим мапг&натика, который воспользуется этой книгой для-обучения студентов технического учебного заведения, не забывать, что книга подобного типа не может содержать строгих, Доказательств для всех приведённых в ней математических положений. Мы надеемся, что большинство этих положений устоит даже перед Верховным судом Чистой математики. Возможно, что инженер иной раз неизбежно соблазнится применением некоторых математических методов в области, ко-?орая лежит за" границами их применимости, и натолкнётся, таким Йбвазом, на затруднения. Лучший совет, который может быть ему в таких случаях дан, это — обратиться. за помощью к'математику.
Мы просим преподавателя технических дисциплин принять во рнимание, что мы не могли цо всех, случаях выбрать именно ту за-ач, которую преподаватель сочтёт наиболее существенной для демон-тех или иных математических методов.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ............••• ...... f ......... 8
От переводчика и редактора перевода ................ ГО
Г л а в а I I
Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений
1. Основная задача интегрального исчисления . . . .......... 11
2. Приближённое вычисление интегралов ................. 13
3. Дифференциальные уравнения первого порядка ........... 15
4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка .*,... 19
5. Особые решения уравнений первого порядка .,. . .'-. . . . ,ч. . . 21
6. Численное решение дифференциальных уравнений первого порядка . 22
7. Дифференциальные уравнения высших порядков. Общие'замечания . . 27
8. Линейные дифференциальные уравнения первого и второго порядков
с постоянными коэффициентами......................... 29
9. Гиперболические функции..................... 32
10. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (продолжение)............... 35
11. Общие замечания о линейных дифференциальных уравнениях .... 39
12. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами. Системы линейных уравнений ....... 41
Задачи к главе I...........v.............. . « 45
Литература к главе 1.......................... 49 /
'Глава II
Основные сведения о бесселевых функциях
/
1. Дифференциальное уравнение Бесселя и бесселевы .функции нулевого порядка............................. 50
; 2. Бесселевы функции высших порядков .. ^ ".............. 56
: 3. Канонические формы бесселевых функций .......'.'..... I 58
\- 4. Специальные свойства некоторых бесселевых функций ....... 61
5. Модифицированные бесселевы функции ................ 62
6. Таблицы и обозначения................'........ 64
i t. Некоторые равносильные формы дифференциального уравнения Бесселя ................................ -65
Задачи к главе 11 ................... . ....... 68
Литература к главе II . . . ^...................... 69
'Глава Ш Основные положения динамики
1. Законы Ньютона...... .................... 70
2. Сложение я умножение векторов.................. 71
3. Движение одной материальной точки .'........4 ...... 74
4. Применение законов Ньютона к системе материальных точек .... 76
5. Центр масс (центр тяжести)...................... 77
6. Движение твёрдого тела .......................' \ 81
7. Гироскоп.............................. 83
8. Работа и энергия. ............. /............ 86
9. Теорема о возможных перемещениях................. 90
10. Принцип Даламбера, . . . . ....... ^ :„. . . . . . . . . . . . 93
11. Обобщённые координаты. Уравнения Лагранжа .....(...... 96
Задачи к главе III.......; . . .................. ,100
Литература к главе III ...'...................... 103
Г л а в а IV Элементарные задачи динамики - -
1. Прямолинейное движение материальной точки в сопротивлякмцейся среде ..... ....... ................... 104
2. Прямолинейное. движение материальной точки, находящейся под действием силы, зависящей от положения точки........... 105
3. Движение маятника..................... . . . . 107
4. Некоторые сведения об эллиптических интегралах и эллиптических функциях. . . ... ... . . ........ .. ,. . ••.'••........... . . 111
5. Прямолинейное движение материальной точки,: подчинённой упругой связи с трением .......................... 120
6. Движение массы, подчинённой упругой связи под действием перио- , дической внешней силы. Резонанс. . . . .............. 122
7. Вынужденные затухающие колебания «... ............ 126
8. Движение материальной точки под действием силы тяжести и- со-'противления воздуха (задача- внешней баллистики) . ,. ..... . . . . . . 128
9. Уравнение движения самолёту". . ,. . . . . . ; .... ........ . 131
10. Траектория полёта самолёта с высокой устойчивостью и малым моментом инерции (фугоидное движение) ............... 132
П. Особые точки дифференциального уравнения первого порядка. .' . . 137
Задачи к главе iy.......................... и. 143
Литература к главе IV......................... 146
' ' ' ; v '< .]
Глава V. -'• •! Малые колебания консервативных систем
1. Малые колебания консервативных систем. Общие замечания . . . . . '147
2. Линейные колебания системы двух связанных масс ........ . 150
3. Консервативная система со статической связью. Общая теория. . . . 154
4. Ортогональность главных колебаний................. 156
5. Пример системы с тремя степенями свободы .'.'..,........ 160
6. Кинетическая и потенциальная энергии системы, выраженные через главные колебания .......................... 162
ft. Вынужденные колебания..................... . 167
* Решение алгебраических уравнений с вещественными корнями . ... 171 , Решение уравнения частот и вычисление амплитуд главных колеба-
I - ний с помощью мадриц....................... . 175
Р. Пример консервативной системы с динамической связью. Двойной
' маятник ... Л.......................... 183
it. Ойщие замечания о системах с динамической связью ........ 185
Ваддчи к главе V. ........................... 187
ритература к главе V............................ 191
Глава VI Малые колебания неконсервативных систем
б ' •
rl. Малые колебания неконсервативных систем. Общие замечания .... 193 : 2. Пример неконсерватирной системы. Элементарная теория вибрации
крыла............................... 1%
S- Диссипация энергии системы. Аналогия между механическими и
электрическими колебаниями.................... 202
А Теория поглотителя колебаний.................... 206
56. Устойчивость равномерного вращения. Вертикальный волчок . . . . 210
б. У.словия устойчивости колебательных систем............ 214
f?. Вычисление комплексных корней алгебраических уравнений . . ,. . . 217
ИВ, Продольная устойчивость самолёта • . . . . . . . . ........ 220
адачи к главе VI........ . *................/. . 225
итература к главе VI............'............. . 227
• ' / Глава VII ... , '
Дифференциальные уравнения теории упругих тея
1. Отклонение нити под действием вертикальной нагрузки....... 229
Нить на упругой опоре ...'.... . . - . . . . . . . . . . ... 234
Изгиб балок. Общая теория . . .' . . . . ....... . . . . . . . 236
|. Прогиб балок. Балби (на упругом основании . . . . . . . . .'. . . . 238
.^Теория висячего моста ... . . ... ... . . ......... . 243
|- Сведение проблем гармонически? колебаний к статическим задачам . . 248
L' Гармонические колебания 'натянутой струны. . ... . ... ..... 249
t Колебание балки. Критическая скорость вращающегося вала ..... 251
| Колебание балки, нагружённой сосредоточенной марсоЙ ....... 254
''Вынужденные колебания однородной консольной балки ....... 257
|родольный изгиб однородной колонны,- находящейся под действием
евой нагрузки ......... • .,.....,......... 258
дольный изгиб усечённой конической колонны. Изгиб колонны
йд действием собственного веса............... . . . 261
||Тродольный изгиб балки на упругом основании............. 265
Комбинированная продольная и поперечная нагрузка, действующая
fна лонжерон крыла самолёта . .... . . . . . . .•. . ... . . . 267
I Графическое изображение- изгибающего момента ..... ; .... 269
5щие соображения о краевых задачах, изложенных в этой /главе . . 269
|, Нахождение характеристических значений методом итерации ..... '272
ачя к главе VII........................... 275
терату'ра к главе VII........................... 280
Ряды Фурье и их приложения к теории упругих тел
1. Решение дифференциальнбго уравнения балки на упругом основании
с помощью тригонометрических рядов............... 281
2. Ряды Фурье и коэффициенты Фурье................ 283
3. Апроксимирование произвольной функции с помощью ряда Фурье. . • 287
4. Численные, графические и механические методы для определения коэффициентов Фурье. Гармонический анализ.............. 292
5. Задача об однородной балке на упругом основании (продолжение). . 295
6. Балка бесконечной длины..Решение с помощью интеграла Фурье. . . 298
7. Вынужденные колебания балки под действием гарм§нической нагрузки...............................' 302
8. Приложение тригонометрических рядов к определению характеристических значений. Метод энергии.................. 306
9. Приложение метода Рейлей-Ритца к равновесию нагружённой мембраны................................. 311
Задачи к главе VIII . . ........................ 314
Литература к главе VIII........................ 316
Глава IX Комплексное представление периодических явлений
1. Установившиеся и переходные состояния.............. 317
2. Векторное представление....................... 318
3. Понятие импеданца......................... 321
4. Правила подсчёта импеданца для электрических и механических систем..................... .......... 325
5. Суперпозиция периодических движений............... 328
6. Произвольная периодическая сила. Комплексная форма ряда Фурье . 331
Задачи к главе IX......................'..... 334,
Литература к t-лаве IX.......•'....'.............. 335
Г л а в а X Переходные явления. Операторное исчисление
1. Приложение интеграла Фурье к непериодическим явлениям ..... 336
2. Единична^ функция и функция единичного импульса ........ « 341
3. Переходная проводимость и реакция системы на единичный импульс. 344
4. Интеграл Дюамеля......................... 349
5. Применение интеграла Фурье к определению реакции системы на единичную функцию. Интеграл Бромвича.............. 351
<>. Интегральное уравнение Карсона .................. 353
7. Понятие оператора............. . .••.......... 355
8. Операторные правила. .....'....„..-............ 356
9. Некоторые основные операторы................... 359
10. Метод разложения в операторном исчислении............ 361
11. Реакция электрического контура на внезапное включение постоянного напряжения.......................... 364
12. Реакция незатухающей механической системы на внезапно приложенные силы..............•. .............. 367
13. Умножение операторов. Теорема Бореля.............. 372
14. 'Реакция электрической сети на внезапное включение переменного напряжения............................ 374
Задачи к главе X............................ >376
Литература к главе X....... ••................. 377
Глава XI
Уравнения в конечных разностях и их приложения к техническим проблемам
h Исчисление конечных разностей t . ................ 378
2. Линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами . . 380
'3. Приложение к неразрезной балке.........; • •...... 3^2
4. Изгиб прямоугольной решётчатой рамы............... 384
5. Падение потенциала в гирлянде электрических изоляторов.,..... 389
6. Критическая скорость, многоцилиндрового двигателя......... 391
7. Волны в механической цепи.............'.......; 396
8. Электрические фильтры....................... 399
Задачи к главе XI........................... 401
Литература к, главе XI........................ 402
Ответы йа задачи.......... . . '............. 403
Предметный указатель ...........
Цена: 300руб.
