Подведем итоги. Мы познакомились с кривой, замечательной во многих отношениях. Она — и след точки обода катящегося колеса, она же — таутохрон-ная кривая (кривая колебаний постоянного периода), она же — брахистохрона (кривая быстрейшего спуска). Но этого мало. В наше время циклоидальные кривые применяются при многих технических расчетах, и знание этих кривых облегчает изучение деталей машин. Не вдаваясь в подробности, упомянем, что свойствами циклоидальных кривых пользуются при построении профилей зубьев шестерен и во многих других технических вопросах. Даже с чисто прикладной точки зрения кривые эти заслуживают самого серьезного внимания.
Но у циклоиды есть и другие заслуги. Ею пользовались ученые XVII века при разработке приемов исследования кривых линий, — тех приемов, которые привели в конце концов к изобретению дифференциального и интегрального исчислений. Она же была одним из «пробных камней», на которых Ньютон, Лейбниц и их первые последователи испытывали силу новых мощных математических методов. Наконец, задача о брахистохроне привела к изобретению вариационного исчисления, столь нужного физикам сегодняшнего дня. Таким образом, циклоида оказалась неразрывно связанной с одним из самых интересных периодов в истории математики.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава I. Кривая, рожденная колесом
Разговор двух велосипедистов .......... 3
Что же такое циклоида?............ 8
Немного истории................ 11
Глава II. Важнейшие свойства циклоиды
Касательная и нормаль к циклоиде......... 17
Геометрическое определение циклоиды....... 24
Спутница циклоиды и ее разоблачение....... 27
Площадь циклоиды. Теорема Галилея........ 31
Дальнейшие свойства циклоиды.......... 34
Глава III. Родственницы циклоиды
Укороченные и удлиненные циклоиды....... 40
Эпициклоиды................. 44
Кардиоида. Конхоиды.............. 50
Гипоциклоиды................ 66
Эпициклоида с бесконечным множеством арок..... 62
Глава IV. Эволюты и эвольвенты
Развертка (эвольвента) кривой .......... 67
Основные свойства развертки........... 69
Развертка окружности............. 73
Жук-математик................ 76
Развертка циклоиды. Длина дуги циклоиды..... 80
Глава V. Лучший маятник
Христиан Гюйгенс и его изобретение........ 85
Часы с маятником. Почему плох обыкновенный (круговой) маятник?................. 86
Таутохронная кривая Гюйгенса.......... 89
Циклоидальный маятник............ 94
Глава VI. Удивительная ледяная гора
Задача о брахистохроне ............. 97
Экскурсия в оптику. Хитрый луч света........ 102
Снова циклоида!............. . . 108
Заключение................... 112
Цена книги: 50руб.
