Эта книга написана на основе лекций, которые я в течение рядаi читал на механико-математическом факультете Московского и решенного университета. При составлении программы лекций и in ходил из уверенности, что выбор материала не должен быть случайным и не должен опираться исключительно на сложившиеся •i|>;i пиши. Наиболее важные и интересные применения обыкновенные дифференциальные уравнения находят в теории колебаний и в теории автоматического управления. Эти применения и послужили руковод-гпшм при выборе материала для моих лекций. Теория колебаний и теория автоматического управления, несомненно, играют очень важную роль в развитии всей современной материальной культуры, и потому я считаю, что такой подход к выбору материала для курса лекций является, если и не единственно возможным, то во всяком случае разумным. Стремясь дать студентам не только чисто математическое орудие, пригодное для применений в технике, но также продемонстрировать и сами применения, я включил в лекции некоторые технические вопросы. В книге они изложены в § 13, 27, 29. Эти вопросы составляют неотъемлемую органическую часть моего курса лекций и, соответственно, этой книги.
Кроме материала, излагавшегося на лекциях, в книгу включены некоторые более трудные вопросы, разбиравшиеся на студенческих семинарах. Они содержатся в § 19, 31 книги. Материал, содержащийся в § 14, 22, 23, 24, 25, 30, излагался на лекциях частично и не каждый год.
Для удобства читателя в конце книги приведены два добавления, которые содержат материал, не входящий в курс обыкновенных дифференциальных уравнений, но существенным образом использующийся в нем. В первой добавлении (отсутствовавшем в предыдущем издании) изложены основные топологические свойства множест расположенных в эвклидовом пространстве, и дано доказательство теорем о неявных функциях; второе добавление посвящено линейной алгебре.
В этом, втором издании по новому изложены теоремы о непрерывной зависимости решений от начальных значений и параметров, а также о дифференцируемости решений по этим величинам. Сделаны также многие более мелкие исправления.
В заключение я хочу выразить благодарность моим ученикам и ближайшим товарищам по работе В. Г. Болтянскому, Р. В. Гам-крелидзе и Е. Ф. Мищенко, помогавшим мне при подготовке и чтении лекций, а также при написании и .редактировании этой книги. Мне хочется также отметить решающее влияние на мои научные интересы, оказанное выдающимся советским специалистом в области теории колебаний и теории автоматического управления Александром Александровичем Андроновым, с которым меня связывали долголетние дружеские отношения. Его влияние существенно сказалось на характере и направленности этой книги.
От автора...................................... 5
Глава первая. Введение......................... 7
§ 1. Дифференциальное уравнение первого порядка......... 7
§ 2. Некоторые элементарные методы интегрирования........ 13
§ 3. Формулировка теоремы существования и единственности ... 21 § 4. Сведение общей системы дифференциальных уравнений к
нормальной .................................
§ 5. Комплексные дифференциальные уравнения........... 32
§ 6. Некоторые сведения о линейных дифференциальных уравнениях..................................... 38
Глава вторая. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами .................................. 41
§ 7. Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами (случай простых корней)................... 42
§ 8. Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами (случай кратных корней) .................... 50
§ 9. Устойчивые многочлены ........................ 56
§ 10. Линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами ................................... 62
§ 11. Метод исключения.......................... . 67
§ 12. Метод комплексных амплитуд .................... 75
§ 13. Электрические цепи .......................... 80
§ 14. Нормальная линейная однородная система с постоянными коэффициентами .............................. 93
§ 15. Автономные системы дифференциальных уравнений и их фазовые пространства ........................... 103
§ 16. Фазовая плоскость линейной однородной системы с постоянными коэффициентами ........................ 115
Глава третья. Линейные уравнения с переменными коэффициентами ................................. 128
§ 17. Нормальная система линейных уравнений ............
§ 18. Линейное уравнение я-го порядка ................. 139
§ 19. Нормальная линейная однородная система с периодическими
коэффициентами.............-................ 146
Глава четвертая. Теоремы существования ........... 152
§ 20. Доказательство теоремы существования и единственности для
одного уравнения ............................ 152
§ 21. Доказательство теоремы существования и единственности для
нормальной системы уравнений................... 161
§ 22. Непродолжаемые решения ...................... 173
§ 23. Непрерывная зависимость решения от начальных значений и
параметров................................ 178
§ 24. Дифференцируемость решения по начальным значениям и
параметрам ................................ 185
§ 25. Первые интегралы ........................... 196
Глава пятая. Устойчивость ............Л.......... 204
§ 26. Теорема Ляпунова ........................... 205
§ 27. Центробежный регулятор (исследования Вышнеградского)
§ 28. Предельные циклы........................... 224
§ 29. Ламповый генератор.......................... 244
§ 30. Положения равновесия автономной системы второго порядка
§ 31. Устойчивость периодических решений .............. 268
Добавление I. Некоторые вопросы анализа ............ 284
§ 32. Топологические свойства евклидовых пространств....... 284
§ 33. Теоремы о неявных функциях .................... 298
Добавление И. Линейная алгебра .................• . 309
§ 34. Минимальный аннулирующий многочлен............. 309
§ 35. Функции матриц ............................ 316
§ 36. Жорданова форма матрицы ................„..... 323
Предметный указатель .............................. 329
Цена книги: 150руб.
