Эта книга представляет собою переработку моего учебника «Обыкновенные дифференциальные уравнения» (5-е изд. — М.: Наука, 1982) в сторону сильного сокращения и упрощения. При этом сохранены все конкретные применения обыкновенных дифференциальных уравнений, данные в учебнике.
Первое из приложений — электрические цепи — рассмотрено в § 14 главы 3. Даны законы Кирхгофа и правила прохождения электрического тока через простейшие двухполюсники: сопротивление, индуктивность, емкость. На этой основе рассмотрены приборы, имеющие практическое значение: трансформатор и фильтры частот.
Далее рассмотрена работа лампового генератора (глава 4, § 19), являющегося источником незатухающих электрических периодических колебаний. Устанавливается связь между этими колебаниями и предельным циклом Пуанкаре. Были сделаны многочисленные попытки объяснить электрические колебания линейной теорией, но это, естественно, оказалось невозможным. А. А. Андронову принадлежит заслуга обнаружения связи между предельными циклами Пуанкаре и незатухающими электрическими колебаниями.
И, наконец, в § 20 главы 4 дается разработанная Вышнеградским теория регулятора Уатта. Регулятор Уатта появился вместе с паровой машиной как прибор, поддерживающий постоянную скорость работы паровой машины. Работа регулятора Уатта заключается в том, что с увеличением скорости работы паровой машины подача пара уменьшается, а при уменьшении скорости подача пара увеличивается, и таким образом устанавливается стабильная скорость. До конца XIX столетия регулятор Уатта благополучно справлялся со своей задачей, а в конце XIX столетия он перестал ее выполнять. Вместо того чтобы стабилизировать скорость работы паровой машины, он создавал раскачку этой скорости. Многочисленные усилия многих специалистов выяснить причину этого явления с целью его устранения долгое время не имели успеха. Только в работе Вышнеградского, выдающегося русского инженера (он же был министром финансов), проблема была успешно разрешена. Он дал такую математическую идеализацию регулятора Уатта, из которой очевидным образом выяснилась причина нарушения его работы и дал рекомендацию устранения этой причины. Оказалось, что достаточно повысить трение в регуляторе Уатта, чтобы ликвидировать неустойчивость его работы.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ,............... 5
Глава 1. Введение............... 7
§ 1. Дифференциальное уравнение первого порядка . . 7 § 2. Формулировка общей теоремы существования и
единственности .............. 15
§ 3. Сведение общей системы дифференциальных уравнений к нормальной ,,..., ...... 18
Глава 2. Линейные дифференциальные уравнения ... 26
§ 4. Доказательство теоремы существования и единственности для нормальной системы линейных дифференциальных уравнений.......... 26
§ 5. Нормальная система линейных дифференциальных
уравнений................ 32
§ 6. Линейное уравнение n-го порядка ,...... 39
Глава 3. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами ................ 45
§ 7. Комплексные дифференциальные уравнения ... 45 § 8. Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами (случай простых корней) .... 50 § 9. Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами (случай кратных корней) .... 58
§ 10. Устойчивые многочлены.......... 66
§ 11. Линейное неоднородное уравнение с постоянными
коэффициентами............. 72
§ 12. Метод исключения . . . . ,....... 78
§ 13. Метод комплексных амплитуд........ 85
§ 14. Электрические цепи............ 91
Глава 4. Устойчивость .............112
§ 15. Автономные системы дифференциальных уравнений
и их фазовые пространства.........114
§ 16, Теорема Ляпунова ,...........135
§ 17. Предельные циклы • • • • • •......1
§ 18. Критерий существования предельного цикла . . 155
§ 19. Ламповый генератор............166
§ 20. Центробежный регулятор {исследования Вышне-
градского)...............175
Цена книги: 50руб.
