Настоящее шестое издание двухтомного курса математического анализа для высших учебных заведений «Дифференциальное исчисление» и «Интегральное исчисление» выпускается издательством «Советская наука» с небольшими изменениями по сравнению с пятым изданием 1955 г. Внесены отдельные исправления вкравшихся погрешностей.
Автор этого курса академик Николай Николаевич Лузин (1883—1950) является одним из крупнейших советских математиков, по книгам которого училось не одно поколение советских инженеров и педагогов.
Николай Николаевич Лузин родился в г. Томске 10 декабря 1883 г. в семье служащего. По окончании Томской гимназии, осенью 1901 г, Н. Н. поступил на математическое отделение физико-математического факультета Московского университета, который окончил в 1906 г. Здесь Н. Н. учился у знаменитых русских профессоров Н. Е. Жуковского, Б. К. Млодзеевского, Д. Ф. Егорова, оказавших значительное влияние на его последующую деятельность.
По окончании университетского курса Н. Н. был оставлен при университете для подготовки к профессорскому званию.
В 1909 г. Н. Н сдал магистерские экзамены (соответствуют современным кандидатским экзаменам) и получил звание приват-доцента по кафедре «чистой математики».
В 1914 г. Н, Н. приступил к чтению лекций по основным и факультативным курсам в Московском университете. Блестящий лекторский талант соединился у него с умением увлечь молодежь, воодушевить ее научным энтузиазмом и вселить веру в собственные силы. Н. Н. с самого начала и до конца своей деятельности являлся неисчерпаемым источником свежих математических идей, преподносившихся им в увлекательной форме. Лекции, которые читал Н. Н., пользовались большой популярностью и неизменно привлекали большое число слушателей.
В 1916 г. Н. Н. представил к защите на соискание ученой степени магистра диссертацию под названием «Интеграл и тригонометрический ряд». Эта диссертация явилась настолько глубоким и фундаментальным исследованием, что, вопреки существовавшим традициям, молодому математику, минуя степень магистра, была присвоена ученая степень доктора математических наук. Диссертация Н. Н. не потеряла своего значения и в настоящее время; в 1951 г. она была переиздана в виде отдельной научной монографии.
В 1917 г, Н. Н. был избран профессором математики Московского университета. Профессорская деятельность Н. Н. в Московском университете ознаменовалась созданием большого коллектива математиков, работавших в области теории функции действительного переменного.
Н. Н. Лузин сплотил вокруг себя научных работников различных возрастов: от сформировавшихся ученых, ставших работать вместе с ним, до начинавших свою научную деятельность математиков из числа студентов и аспирантов. Н. Н. воспитал целый ряд ученых, из которых многие сыграли и играют в настоящее время выдающуюся роль в развитии математики.
В 1927 г. Н. Н. был избран членом-корреспондентом, а в 1929 г. действительным членом Академии наук СССР. С этого времени деятельность Н. Н. протекала в основном в научных учреждениях Академии наук. В последние годы жизни Н. Н. возглавлял отдел теории функций действительного переменного в Математическом институте им. Стеклова и принимал участие в работе Института автоматики и телемеханики Академии наук.
Основная научная деятельность Н. Н. протекала в области теории функций действительного переменного; в этой дисциплине им получены результаты, обогатившие математическую науку важнейшими открытиями. Труды Н. Н. в теории функций действительного переменного стали в настоящее время классическими. Глубокие фундаментальные исследования принадлежат Н. Н. в теории тригонометрических рядов и в теории аналитических функций, в которой им были применены методы исследования теории функций действительного переменного.
В своей творческой работе Н. Н. не оставался в рамках чисто теоретических исследований. Н. Н. принадлежит ряд работ по прикладной математике, а именно по численным методам алгебры и анализа и в частности им произведены важные исследования по численному интегрированию дифференциальных уравнений методом акад. С. А. Чаплыгина.
Николай Николаевич скоропостижно скончался 28 февраля 1950 г. от болезни сердца.
Имя Николая Николаевича Лузина — крупнейшего советского ученого, педагога и патриота нашей великой Родины занимает почетное место в истории советской науки.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава I. Число
стр.
(1) Рациональные числа. (2) Практическое значение рациональных чисел. (3) Сопоставление рациональных чисел с точками прямой линии. (4) Несоизмеримые отрезки. (5) Иррациональные числа. (6) Иррациональное число есть непериодическая бесконечная, десятичная дробь. (7) Действительные числа. (8) Абсолютная величина. (9) Деление на нуль запрещается. 5
Глава II. Величина
(10) О величинах вообще. (11) Переменная величина. (12) Постоянная величина. (13) Геометрическое изображение величин. (14) Область значений переменного. (15) Отрезок и промежуток. (16) Классификация переменных величин. (17) Приращение переменной величины. (18) Постоянная величина как переменная ......................... 16
Глава III. Функция
(19) Функция. (20) Зависимые и независимые переменные. (21) Характеристика функции. (22) Вычисление функций. (23) Область изменения аргумента. (24) Приращение функции. (25) Геометрическое изображение функций. (26) Геометрическое изображение приращения функции. (27) О различном происхождении функций. (28) Классификация функций......31
Глава IV. Предел
(29) Предел переменного. (30) О способах переменной величины приближаться к своему пределу. (31) Бесконечно малые. (32) Связь понятия предела и бесконечно малого. (33) Предварительные свойства переменных величин, стремящихся к пределу. (34) Важнейшие свойства бесконечно малых. (35) Основные теоремы о пределах. (36) Понятие о бесконечно большом. (37) Связь бесконечно большого и бесконечно малого .....56
Глава V. Непрерывность
(38) Понятие непрерывности функции. (39) Определение непрерывности функции в точке. (40) Геометрическое изображение непрерывности функции в точке. (41) Непрерывность в точке двусторонняя и односторонняя. (42) Важнейшие свойства функций, непрерывных в точке. (43) Правило испытания на непрерывность. (44) Свойства функций, непрерывных на отрезке. (45) Пределы функции и их обозначения. Пределы в беско-
нечности. (46) Типы разрывов функций; неустранимый и устранимый разрывы. (47) Кажущийся разрыв и так называемая «истинная величина» функции. Раскрытие неопределенностей. (48) Натуральные логарифмы . . 77
Глава VI. Дифференцирование
(49) Введение. (50) Приращение. (51) Сравнение приращений. (52) Производная функция одного переменного. (53) Различные обозначения производной. (54) Дифференцируемые функции. (55) Общее правило дифференцирования. (56) Геометрический смысл производной .........120
Глава VII. Правила для дифференцирования алгебраических
выражений
(57) Важность общего правила. (58) Дифференцирование постоянного.
(59) Дифференцирование переменного по этому же самому переменному.
(60) Дифференцирование суммы (алгебраической). (61) Дифференцирование произведения постоянного на функцию. (62) Дифференцирование произведения двух функций. (63) Дифференцирование произведения любого заданного конечного числа функций. (64) Дифференцирование функции с постоянным показателем степени. (65) Дифференцирование частного. (66) Дифференцирование функции от функции. (67) Об ошибках, часто случающихся при дифференцировании функции от функции. (68) Практика дифференцирования функции от функции. (69) Дифференцирование обратных функций. (70) Дифференцирование неявных функций...............136
Глава VIII. Различные приложения производной
(71) Направление кривой. (72) Уравнения касательной и нормали; длины подкасательной и поднормали. (73) Наибольшая и наименьшая величина функции; введение. (74) Функции возрастающие и убывающие. Их отличительные признаки. (75) Максимальные и минимальные величины функции; их логические определения. (76) Первый способ исследования функции на максимум и минимум. Рабочее праэило. (77) Максимальная и минимальная величины непрерывной функции, когда у нее нет производной в некоторых точках. (78) Общие указания для наиболее практичного отыскания максимальных и минимальных величин. (79) Производная как быстрота изменения. (80) Скорость прямолинейного движения. (81) Связанные скорости.............................160
Глава IX. Последовательное дифференцирование и его приложения
(82) Определение последовательных производных. (83) и-я производная. (84) Последовательное дифференцирование неявных функций. (85) Направление изгиба кривой. (86) Второй способ испытания на максимум и минимум. (87) Точки перегиба. (88) Вычерчивание кривых^(89) Ускорение прямолинейного движения................ ".......190
Глава X. Дифференцирование трансцендентных функций
(90) Формулы производных; второй основной список. (91) Дифференцирование логарифма. (92) Дифференцирование показательной функции. (93) Дифференцирование общей показательной функции. Доказательство правила степени. (94) Практика дифференцирования логарифмических выражений. (95) Дифференцирование sint». (96) Дифференцирование cos». (97) Дифференцирование tgu. (98) Дифференцирование ctgw. (99) Пояснение. (100) Обратные тригонометрические функции. (101) Дифференцирование arc sin v. (102) Дифференцирование arc cos v. (103) Дифференцирование arctgf. (104) Дифференцирование arcctgw . „.............209
Глава XI. Приложения к параметрическим уравнениям, полярным уравнениям и к корням
(105) Параметрические уравнения кривой. Наклон. (106) Параметрические уравнения. Вторая производная. (107) Криволинейное движение. Скорость. (108) Криволинейное движение. Компоненты ускорения. (109) Полярные координаты. Угол между радиусом-вектором и касательной. (110) Длины полярной подкасательной и полярной поднормали. (111) Отделение кратных корней у многочленов. (112) Действительные корни уравнений. Графические методы. (113) Второй метод отделения действительных корней. (114) Метод Ньютона.....................237
Глава XII. Дифференциалы
(115) Введение. (116) Определения. (117) Геометрическое изображение дифференциала. (118) Приращение функции и дифференциал функции. (119) О сравнении бесконечно малых друг с другом. (120) Приближенное вычисление приращения функции при помощи дифференциала. (121) Малые ошибки. (122) Формулы для нахождения дифференциалов функций. < 123) Дифференциал дуги в прямоугольных декартовых координатах. Х124) Дифференциал дуги в полярных координатах. (125) Скорость криволинейного движения как быстрота изменения дуги. (126) Неизменность формулы для дифференциала функции. (127) Дифференциалы высших порядков .... 268
Глава XIII. Кривизна. Радиус и круг кривизны
(128) Кривизна. (129) Кривизна окружности. (130) Кривизна в прямоугольных координатах. (131) Кривизна в параметрической форме. (132) Кривизна в полярных координатах. (133) Радиус кривизны. (134) Рельсовый путь или переходные кривые. (135) Круг кривизны. (136) Центр кривизны. (137) Эволюты. (138) Свойства эволюты. (139) Эвольвенты и их механическое построение. (140) Преобразование производных ..........292
Глава XIV. Теорема о среднем и ее приложения
(141) Теорема Ролля. (142) Соприкасающийся круг. (143) Предельная точка пересечения двух близких нормалей. (144) Теоремы о среднем (законы среднего). (145) Теорема о среднем Тейлора. (146) Максимум и минимум, исследуемые аналитически. (147) Неопределенные формы. (148) Оценка элементарными приемами функции, принимающей неопределенную форму.
(149) Раскрытие неопределенности -тт. (150) Раскрытие неопределенности —. (151) Раскрытие неопределенности О-оо. (152) Раскрытие неопределенности оо — оо. (153) Раскрытие неопределенностей 0°, 1°°, оо°. (154) Асимптоты. (155) Нахождение асимптот кривой, отнесенной к прямоугольной
системе координат. (156) Предельное положение касательной. (157) Нахождение асимптот алгебраических кривых. (158) Асимптоты кривой, отнесенной к полярной системе координат .................. 316
Глава XV. Частные производные
(159) Непрерывные функции двух и более независимых переменных. (160) Частные производные. (16f) Геометрическая интерпретация частных производных. (162) Полное приращение. (163) Полный дифференциал. (164) Закон сохранения формулы полного дифференциала при преобразовании независимых переменных. (165) Практическое вычисление полных дифференциалов. (166) Частная производная и полная производная. Дифференцирование вдоль линии. (167) Дифференцирование неявных функций. (168) Производные высшего порядка. (169) Теоремы о среднем для функций нескольких независимых переменных (законы среднего). (170) Необходимые условия максимума и минимума функций нескольких переменных. 171) Достаточные условия максимума и минимума функций двух переменных 355
Глава XVI. Приложение частных производных
(172) Особые точки. (173) Определение касательных в оссбых точках алгебраической кривой. (174) Различные типы двукратных точек алгебраической кривой. (175) Особые точки трансцендентных кривых. (176) Семейство кривых и их огибающая. (177) Нахождение огибающей семейства кривых, зависящих от одного параметра. (178) Эволюта кривой как огибающая семейства ее нормалей. (179) Пространственная кривая и ее уравнения. (180) Касательная прямая и нормальная плоскость пространственной кри-* вой. (181) Соприкасающаяся плоскость пространственной кривой. (182) Касательная плоскость и нормаль к поверхности. (183) Геометрическая интерпретация полного дифференциала функции двух аргументов.....391
Глава XVII. Основы векторного анализа и его применение в теории пространственных кривых
(184) Вектор-функция скалярного аргумента. Непрерывность. Производная. (185) Правила дифференцирования векторов. (186) Векторно-пара-метрическое уравнение кривой. (187) Производная радиуса-вектора. Орт касательной. (188) Дифференциал дуги пространственной кривой. (189) Кривизна пространственной кривой. (190) Главная нормаль кривой. (191) Основной трехгранник. (192) Кручение пространственной кривой. Формулы Френе. 429
Приложение I. Элементарные формулы............455
Приложение II. Кривые для справок...............461
Цена книги: 150руб.
