Данная книга представляет собой попытку систематически изложить арифметику в пределах программы V и VI классов. Таким образом, предполагается, что наш читатель знает математику в пределам начальной школы: умеет производить арифметические действия с натуральными числами и даже имеет некоторое представление о дробях.
Дроби изучаются практически с самого начала, по тот факт, что школьник имеет некоторое представление о дробях, освобождает нас от необходимости вводить много примеров, приводящих к понятию дроби. Мы имеем в виду такие важнейшие «физические» примеры, как, например: 1) три яблока разделить между пятью мальчиками; 2) убедиться в том, что две третьих части торта и и четыре шестых_его части—это физически одно и тоже.
Первая задача приводит не только к понятию дроби
3
-jr, но и к тому, что ее надо рассматривать как частное
3:5. Вторая задача приводит к естественности формаль-
2 4 ного равенства -о-"!?"'
Перед авторами стояла задача все эти вещи формализовать, изложить компактно и доступно, но так, чтобы было видно, где в них логическое начало и где конец, где здесь «физика» и где логика. Логику тоже нельзя замазывать— она как раз дает основу для умения правильно вычислять.
Арифметика—логическая наука, на ней можно учиться логически мыслить—конечно, если излагать ее не «вверх ногами», как это иногда случается. Счастливым образом формализм арифметики имеет прикладное значение, потому что.он дает правила вычислений. Но прикладной части тоже надо уделять внимание. Умножить
2 Б 2-5
у на у—это значит вычислить дробь ^; это надо твердо знать. По также необходимо знать, что при этом мы решили и физическую задачу—взяли две третьих части от пяти седьмых (например, яблока) или вычислили пло-5 щадь прямоугольника со сторонами -и •=-.
о 7
Мы старались систематически изложить обе стороны указанных явлений—формальную и прикладную—их объединить и в некоторых случаях разъединить, потому что формализм арифметики необходим для практики- вычислений. Конечно, должна быть еще и общая идея. Такой идеей яляется формирование понятия числа как длины отрезка, а еще точнее—как координаты произвольной точки-пряч м-ай, В этом втором-смысле понятие «-число» объединяет в себе положительные и отрицательные числа.
Наконец, большую роль в этих вопросах играет и педагогика— надо изложить вопрос доходчиво и компактно-Мы очень часто слышим, что школьники доходят до стар--шйх классов и не знают арифметики. В старших классах STO положение исправляют тем, что заставляют отстающих выполнять упражнения на повторение арифметики. Но это плохой выход. Прежде всего надо подумать об улучшении преподавания арифметики в то время, когда она изучается. Это возможно, если арифметику проходить в логическом порядке или, как мы говорим, систематически. Опыт такого систематического изложения мы предлагаем в этой.книге. Избран следующий порядок изложения;
I. Натуральные числа и нуль.
II. Метрическая система мер.
III. Целые числа.
IV. Обыкновенные дроби.
V. Рациональные числа.
VI. Пропорции.
VII. Десятичные дроби.
VIII. Обыкновенные и десятичные дроби.
IX. Система координат.
От натуральных чисел мы переходим к целым. Наблюдения показывают, что на главе «Натуральные числа» по надо долго задерживаться, потому что школьники и даже учителя считают, что все это уже проходилось в младших классах, и неохотно работают с этим материалом. По на самом деле натренированность учеников в вычислениях с натуральными числами в это время еще недостаточна.
Мы вводим целые числа так рано потому, что идею отрицательного числа легче всего усвоить на целых числах, которые могут при этом служить новым интересным материалом для продолжения отработки навыков работы с натуральными числами. Получается экономия времени и сил;
В следующей главе («Обыкновенные дроби») отрицательные числа не нужны, но в упражнениях для повторения они рассматриваются. Свойства чисел любого знака (глава «Рациональные числа») сводятся к соответствующим свойствам целых чисел.
При желании главы III и IV можно переставить. Впрочем, в этом случае выражения типа 1—24-3 при-дстся разъяснять после дробей — мы считаем это по крайней мере странным.
Десятичные дроби стоят у нас после обыкновенных дробей. Мы прямо скажем, что не можем согласиться с порядком изложения этих вопросов, предлагаемом в «Тематическом планировании» программы по математике для средней йшолы. По этому плану десятичным дробям предшествует малосущественный кусочек из обыкновенных дробей. Из него можно почерпнуть только понятие обыкновенной дроби, а также сравнение, сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Основное свойство дроби, неизменность ее при сокращении (см. пример с тортом), предлагается рассматривать только через год. Но приведенных фактов о дробях недостаточно даже, чтобы обосновать, например, что 0,5 = 0,50.
Нельзя также согласиться с методом введения дробей любого знака (рациональных чисел), культивируемым в наших учебниках при полной поддержке методистов. Есть более простой способ—перспективный как с научной, так
и с педагогической точки зрения. Идея отрицательного числа вводится на целых числах, в дробном же случае она сводится к целым числам. Это естественно. Непонятно почему этот путь не используется. Наши читатели-учителя могут проверить этот вопрос на деле.
Мы употребляем буквы, но очень осторожно—только в той мере, когда кажется, что буква легче поясняет вопрос, чем пример с числом. В большей части рассуждений доказательства ведутся на характерных числовых примерах. Все же примеров, когда выгодно использование буквенных выражений, достаточно много, и, таким образом, книга вносит определенный алгебраический элемент в образование читателя.
Отметим, что вопросы, излагаемые в главах VIII и IX этой книги, предусмотрены школьной программой 7-го и следующих классов. Мы думаем, что при соответствующем элементарном изложений место этих вопросов должно находится на стыке 6-го и 7-го классов. Это даст истинную опору при изучении алгебры и геометрии. Кроме того, систематическое изложение арифметики предполагает определенную завершенность курса.
Мы выражаем благодарность учителю средней школы № 75 пос. Черноголовка Московской области Е. А. Веденеевой, обучавшей школьников по этой книге.
Высказанные выше идеи на практике проверены также одним из авторов книги А. В. Шевкиным при работе в школе № 679 г. Москвы.
Мы благодарны методической комиссии Математического Института АН СССР, которая положительно оценила материалы рукописи нашей книги, а также В. А. Сквор-цову и А. Б. Шидловскому за полезные советы.
Отметим, что данная книга может быть полезна тому, кто желает привести в порядок свои знания по арифметике, в частности при подготовке к вступительным экзаменам в техникумы и высшие учебные заведения.
ОГЛАВЛЕНИЕ Введение...... .
Глава I. Натуральные числа и нуль ,,,,,,,,,,,,, 11
§ 1. Натуральный ряд .,,,.,,,,.,..... 11 § 2. Строение натурального числа в десятичной системе
счисления ..,,,......,........ 12
$ 3, Сравнение натуральных чисел ,......... 15
§ 4. Законы сложения • , , , , , ,.......... 18
S 5. Вычитание , , , , , , ,............. 21
5 6. Умножение. Законы умножения.......... 23
S 7. Распределительный закон............. 27
§ 8. Сложение и вычитание чисел столбиком...... 30
§ 9. Вычисление произведений целых неотрицательных
чисел , , .................... 33
§ 10. Степень с натуральным показателем........ 38
§ 11. Деление....., •.............. 38
§ 12. Свойства делимости................ 40
§ 13. Признаки делимости ,.............. 42
§ 14. Деление с остатком................ 47
§ 15. Числовые выражения............... 50
§ 16. Вычисления с помощью микрокалькулятора .... 53 § 17. Представление натуральных чисел на координатной
полуоси.............,....... 57
§ 18. Исторические сведения........,,.... 59
Вопросы для повторения по материалу главы I , , , . , , , 02
Глава II. Метрическая система мер . . , ,........ G5
§ 19. Измерение отрезков........., ,..... 65
§ 20. Величины. Исторические сведения........, 07
§ 21. Метр....................... 08
§ 22. Метрические единицы длины. ,.......... 70
§ 23. Прямоугольник .,,...,,.,<,.,,,,. 72
§ 24. Единицы площади ................ 75
§ 25. Прямоугольный параллелепипед.......... 78
§ 26. Единицы объема................. 80
§ 27. Единицы массы.................. 82
§ 28. Единицы времени................. 83
Вопросы для повторения по материалу главы II . ,..... 86
Глава III. Целые числа................. 89
§ 29. Отрицательные целые числа............ 89
§ 30. Правила знаков. Модуль числа.......... 91
§ 31, Сравнение целых чисел............. . 93
§ 32. Сложение целых чисел.............. 94
§ 33. Законы сложения целых чисел........... 97
§ 34. Разность целых чисел ,.............. 99
§ 35.. Произведение и частное целых чисел........ 101
§ 36. Распределительный еакон .............. 104
§ 37- Раскрытие скобок и заключение в скобки..... 107
§ 38. Действия с суммами нескольких слагаемых. .... 110
§ 39. Представление целых чисел на координатной оси . . 111
§ 40. Исторические сведения.............. 113
Вопросы для повторения по материалу главы 111...... 115
Глава IV. Обыкновенные дроби.........., . . . 116
§ 41. Простые и составные числа ............ 116
§ 42. Делители натурального числа........... 118
§ 43. Наибольший общий делитель............ 123
§ 44. Наименьшее общее кратное............• 125
§ 45. Понятие дроби .-.,-.-............... 128
§ 46. Равенство дробей................. 133
§ 47. Приведение дробей к общему знаменателю..... 139
§ 48. Сравнение дробей ................. 143
§ 49. Сложение дробей................. 149
§ 50. Законы сложения ................ 154
§ 51. Вычитание дробей.................. 158
§ 52. Смешанные дроби................. 162
§ 53. Сложение и вычитание смешанных дробей..... 166
§ 54. Умножение дробей................ 169
§ 55. Деление дробей.................. 174
§ 56. Законы умножения................ 178
§ 57. Решение задач.................. 183
§ 58. Площадь прямоугольника. Объем прямоугольного параллелепипеда .............. .... 188
§ 59. Единицы измерения скорости ,,»..,.,.,. 192
4
§ 60. Представление положительных дробей на координатной оси....................... 195
§ 61. Исторические сведения.............. 199
Вопросы для повторения по материалу главы IV....... 202
Г лапа V. Рациональные числа . , . . ,.......... 203
§ 62. Отрицательные дроби................ 203
§ 63. Рациональные числа................ 206
§ 64. Сравнение дробей ................ 211
§ 65. Сложение и вычитание дробей........... 213
§ 66. Произведение и частное дробей........... 216
§ 67. Переместительный и сочетательный законы сложения.
Распределительный закон............. 221
§ 68. Переместительный и сочетательный законы умножения....................... 225
§ 69. Представление рациональных чисел па координатной
оси........................ 230
Вопросы для повторения по материалу главы V....... 234
Глава VI. Пропорции................... 233
§ 70. Буквенные выражения.............. 233
§ 71. Подобные слагаемые................ 244
§ 72. Уравнения.................... 248
§ 73. Решение задач с помощью уравнений....... 251
§ 74. Отношение и пропорция.............. 256
§ 75. Прямая и обратная пропорциональность ...... 262
§ 7G. Масштаб..................... 268
Вопросы для повторения по материалу главы VI....... 273
Глава VII. Десятичные дроби................ 275
§ 77. Понятие десятичной дроби............. 275
§ 78. Сравнение положительных десятичных дробей . . . 230
§ 79. Перенос запятой в десятичной дроби........ 284
§ 80. Сложение и вычитание положительных десятичных
дробей...................... 287
§ 81. Умножение десятичных дробей........... 293
§ 82. Деление десятичных дробей............ 298
§ 83. Понятие о проценте................ 304
§ 84. Решение задачи на проценты............ 309
§ 85. Десятичные дроби произвольного знака....... 313,
§ 86. Исторические сведения.............. 316
Вопросы для повторения по материалу главы VII...... 319
Глава VIlli Обыкновенные и десятичные дроби....., 320
§ 87. Разложение обыкновенной дроби в конечную десятичную дробь.................... 320
§ 88. Понятие периодической десятичной дроби , . . . . . 324 § Ь9. Периодичность десятичного разложения обыкновенной
дроби ...................... 328
^ SO. Непериодические десятичные бесконечные дроби, Иррациональные числа . .,.............. 332
( 91. Сравнение действительных чисел. Приближение числа 337
? 92. Вычисления с помощью микрокалькулятора .... 345
§ 93. Округление при умножении и делении чисел , . , . 349
§ 94. Основные свойства действительных чисел ,.,,.. 352
Глава IX. Система координат .,..,,,,....,.. 356
§ 95. Длина отрезка ..,,,,..,,,.,..,•• 356
5 66. Координатная ось .......,...... . . . 360
§ 97. Декартова система координат на плоскости . . . , , 365
§ 98. Графики.............,......, 372
§ 99. Исторические сведения ..,,.,..,.....« 377
Приложение........................ 383
Цена: 100руб.
