Математика	Физика	Химия	Биология	Техника и технологии
	Алгебра и элементарные функции Р.АКалнин Москва1966 445стр.
ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящая книга написана применительно к новой про-5rSmie по математике для средних специальных учебных заведений. Последовательность изложения учебного материала восновном совпадает с той, что дана в программе. Главы И, II! и частично V и VI написаны конспективно, поскольку содержат повторительный материал 8-го класса средней школы. Считая, что повторение материала, пройденного в средней школе, имеет своей целью не только восстановить навыки в алгебраических преобразованиях и технику решении-уравнении, но также дать более глубокое усвоение основных понятий, автор счел необходимым несколько расширить этот раздел программы рассмотрением таких вопросов, как однородные линейные системы, неравенства, содержащие неизвестное под знаком модуля, применение определителя второго порядка к исследованию линейной системы. Тригонометрические функции произвольного угла вводятся как проекции вектора, а формулы сложения выводятся проектированием векторной ломаной. Такой способ изложения является естественным, так как предшествующая глава «Векторы» подготовит учащихся к тому, чтобы применять метод проекции. Последние главы книги (XVII, XVI11, XIX) посвящены изложению элементарных сведений из математического анализа. Этот раздел книги предназначен для учащихся средних спе-- ииальных учебных заведений, в учебных планах которых нет самостоятельного курса по высшей математике. Однако изложение материала этого раздела ведется несколько подробнее, чем предусмотрено программой. В конце каждой главы книги даются упражнения, на наш взгляд достаточные для того, чтобы учащийся мог закрепить пройденный теоретический материал. Автор приносит глубокую благодарность рецензентам Р. С. Гутеру и В. И. Грудникову, внимательно просмотревшим рукопись; их замечания и ценные советы были учтены при окончательном оформлении рукописи. С. А. Широковой автор обязан тщательным редактированием книги и за проделанную ею большую работу весьма признателен. Р. А. Калнин Во втором издании исправлены замеченные неточности и опечатки и, кроме того, опущена дополнительная глава «Элементы интегрального исчисления». ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА В декабре 1965 г. научно-методический кабинет по высшему и среднему специальному образованию СССР организовал широкое обсуждение этой книги. В ходе обсуждения были высказаны различные пожелания и ряд критических замечаний. Эти замечания и пожелания будут учтены автором при подготовке третьего издания, которое может быть выпущено не ранее 1967 г. В настоящую допечатку тиража второго издания внесены лишь небольшие исправления. Издательство и автор выражают благодарность всем липам, принявшим участие в обсуждении книги, а также всем приславшим свои замечания. ОГЛАВЛЕНИЕ ава I. Приближенные вычисления.......... 13 § 1. Источники приближенных чисел.......... 13 2. Абсолютная погрешность и ее граница....... 14, 3. Относительная погрешность............ 15 4. Точные значащие цифры.............. 16 5. Действия над приближенными числами....... 17 \| 6. Правила подсчета значащих цифр......... 17 7. Применение правил подсчета цифр......... 18 § 8. Примеры более сложных вычислений по правилу подсчета значащих цифр.............. 19 § 9. Вычисления с наперед заданной точностью..... 21 Упражнения...................... 22 • ава II. Уравнения первой степени.......... 24 § 10. Общие понятия и определения........... 24 I 11. Уравнения первой степени с одним неизвестным . . 26 i 12. Система линейных уравнений ........... 29 I 13. Линейная система, определитель которой равен нулю 33 § 14. Особые случаи линейных систем.......... 36 § 15. Примеры на отыскание решения систем уравнений . 39 Упражнения...................... 41 лава III. Неравенства.................. 43 § 16. Основные понятия и определения.......... 43 § 17. Свойства неравенств................ 43 § 18. Действия над неравенствами......,..... 44 § 19. Решение неравенств первой степени с одним неизвестным ...................... 46 § 20. Отрезок. Промежуток............... 47 § 21. Решение систем неравенств первой степени .... 48 § 22. Неравенства, содержащие неизвестное под знаком модуля....................... 50 § 23. Понятие о доказательстве неравенств ....... 52 § 24. Графическое решение неравенств.......... 54 Упражнения...................... 55 Глава IV. Действительные числа............ 57 § 25. Вводное замечание................ 57 § 26. Рациональные числа................ 57 \| 27. Измерение отрезков................ 59 § 28. Десятичное измерение отрезков.......... 61 § 29. Рациональные приближения действительных чисел . 62 § 30. Геометрическое изображение действительных чисел . 65 Глава V. Степень с рациональным показателем .... 66 § 31. Степень с натуральным показателем........ 66 § 32. Степень с нулевым и целым отрицательным показа- . телем....................... 68 § 33. Понятие корня ................... 70 § 34. Основные тождества, на которых основаны преобразования корней и действия над ними........ 72 § 35. Извлечение Квадратного Корня с заданной степенью точности...................... 74 § 36. Освобождение дроби от квадратной иррациональности в знаменателе................ 75 § 37. Простейший вид радикала. Подобие радикалов ... 76 § 38. Сложение и вычитание радикалов......... 78 § 39. Умножение и деление более сложных иррациональных выражений.................. 78 § 40. Преобразование сложного радикала......... 78 § 41. Степень с дробным показателен.......... 79 § 42. Примеры на все действия над радикалами..... 81 Упражнения...................... 83 Глава VI. Простейшие функции и их графики..... 89 43. Вводное замечание................. 89 44. Основные понятия и определения......... 89 45. Допустимые значения аргумента.......... 90 46. Графическое изображение функции......... 91 47. Исследование функции............... 93 48. Линейная функция................. 95 § 49. Обратная пропорциональность........... 98 § 50. Четная к нечетная функции............ 100 § 51. Степенная функция с натуральным показателем . . . 101 § 52. Степенная функция с положительным дробным показателем..................... 102 § 53. Степенная функция с отрицательным дробным показателем ..................... 103 Упражнения...................... 104 Глава VII. Квадратные уравнения и уравнения, приводящиеся к ним.......•..........105 § 54. Квадратные уравнения............... 105 \| 55. Примеры на решение квадратных уравнений .... 107 § 56. Зависимость между коэффициентами и корнями квадратного уравнения (формулы Виета).....! . . 108 § 57. Исследование корней квадратного уравнения .... 109 § 58. Графическая иллюстрация исследования корней квад- 'Я9 Решение уравнений степени выше второй разложе- нием левой части на множители.......... 111 ;60. Биквадратное уравнение.............. 113 i 61. Исследование корней биквадратного уравнения . . . 114 62 Неравенства второй степени............ 114 ,63. Графическое истолкование решения неравенств вто- ' рой степени.................... 116 ,. Потерянные и посторонние корни.......... 117 ,'65. Посторонние корни иррационального уравнения ... 119 166. Решение иррациональных уравнений........ 120 67. Системы уравнений второй степени........ 122 68. Решение простейших систем уравнений второй степени ........................ 123 69. Искусственные приемы решения системы уравнений 124 70. Графический способ решения системы уравнений . . 127 ^Упражнения...................... 129 \|»ава V1H. Векторы................... 135 fr § 71. Направленные отрезки на оси........... 135 '•; §72. Понятие вектора.................. 137 : •§ 73. Действия над векторами............... 138 т § 74. Проекция вектора на ось ............. 140 % § 75. Скалярное произведение двух векторов....... 143 \| Упражнения.....................• 144 Ьдава IX. Тригонометрические функции любого угла . . 145 § 76. Обобщение понятия угла.............. 145 ' § 77. Радианная мера углов............... 146 if §78. Зависимость между радианной и градусной мерами v углов....................... 147 ]j § 79. Длина дуги окружности.............. 149 > § 80. Определение тригонометрических функций любого угла........................ 149 ;;. § 81. Знаки тригонометрических функций......... 152 •'••' § 82. Изменение тригонометрических функций при измене- \:- нии угла а в пределах первой окружности..... 153 ;. § 83. Построение угла по заданному значению тригонометрической функции................ 157 § 84. Значения тригонометрических функций некоторых углов....................... 160 '•' § 85. Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же угла............... 161 § 86. Вычисление значений всех тригонометрических функций по заданному значению одной из них..... 163 :••' § 87. Разные примеры и задачи............. 164 • \| 88. Доказательство тождеств.............. 165 - § 89. Формулы приведения................ 167 § 90. Два правила для запоминания формул приведения . . 171 > §91. Приведение тригонометрических функций отрицатель- ного аргумента к функциям положительного аргумента 172 § 92. Периодичность тригонометрических функций .... 173 § 93. Графики тригонометрических функций....... 174 Упражнения...................... 178 Глава X. Формулой сложения и вычитания тригонометрических функций и их следствия..... 181 § 94. Дополнительные сведения о проекциях вектора . . 181 § 95. Косинус и синус суммы двух углов........ 182 § 96. Скалярное произведение двух векторов, выраженное через их проекции................. 185 § 97. Тангенс суммы и разности двух углов....... 187 § 98. Формулы умножения............... 188 § 99. Формулы деления................. 190 § 100. Выражение синуса и косинуса через тангенс половинного угла................... 192 § 101. Доказательство тождеств............. 194 § 102. Преобразование суммы и разности двух одноименных тригонометрических функций в произведение , 195 § 103. Введение вспомогательного угла.......... 197 § 104. Примеры на преобразование тригонометрических выражений.................... 198 § 105. Простейшие тригонометрические уравнения .... 200 § 106. Общий вид углов, соответствующих данному значению тригонометрической функции......... 204 § 107. Примеры более сложных тригонометрических уравнений .................... ... 207 Упражнения............... •...... 208 Глава XI. Обратные тригонометрические функции . . . 210 § 108. Прямая и обратная функции........... 210 § 109. Функция арксинус................. 211 § 110. График функции у — arcsin x........... 213 § 111. Функция арктангенс................ 214 § 112. График функции у = arctg x............ 216' § 113. Обратные функции arccosx и arcctg....... 216 § 114. Некоторые тождества, связывающие обратные тригонометрические функции........:.-... 218 § 115. Выражение любой обратной тригонометрической функции через остальные............. 219 § 116. Примеры на обратные тригонометрические функции 221 § 117. Еще некоторые примеры тригонометрических уравнений ....................... 224 § 118. Общие указания к решению тригонометрических уравнений.................... . 228 § 119. Тригонометрические функции числового аргумента 232 § 120. Графики функций, получаемых преобразованием синусоиды .........•........... 232 § 121. Графическое решение тригонометрических уравнений ......•................. 237 § 122. Простое гармоническое колебание......... 239 Упражнения...................... 241 Глава XII. Прогрессии.................. 244 § 123. Числовая последовательность........... 244 § 124. Арифметическая прогрессия............ 246 § 125. Формула любого члена арифметической прогрессии 247 § 126. Среднее арифметическое............. 248 6 •f'' 6,127. Формула суммы первых п членов арифметической прогрессии.....................248 128. Геометрическая иллюстрация суммы 5„......250 129. Примеры на применение формулы суммы Sn . . . . 250 130. Сумма квадратов первых п чисел натурального ряда 251 131. Геометрическая прогрессия............252 132. Формула любого члена геометрической прогрессии 253 133. Среднее геометрическое..............254 § 134. Сумма первых п членов геометрической прогрессии 255 Упражнения......................257 ава XIII. Показательная функция и логарифмы . . . 260 § 135. Показательная функция ..............260 § 136. Графики показательных функций.........261 § 137. Свойства показательной функции.........262 138. График показательной функции у = Cakx.....264 139. Понятие логарифма................265 140. Логарифмическая функция и ее график......267 141. Свойства логарифмической функции........268 142. Практическое значение логарифмов........268 143. Общие свойства логарифмов...........269 s 144. Логарифмирование произведения и частного .... 271 § 145. Потенцирование..................271 § 146. Система десятичных логарифмов.........272 § 147. Вычисление логарифма..............277 § 148. Действия над логарифмами............278 § 149. Дополнительный логарифм.............281 § 150. Таблицы логарифмов...............282 § 151. Таблицы антилогарифмов.............283 § 152. Примеры на вычисления с применением логарифмов 283 § 153. Модуль перехода от одной системы логарифмов к другой.....................285 § 154. Показательные уравнения.............287 § 155. Логарифмические уравнения............289 § 156. Решение более сложного неалгебраического уравнения .......................290 Упражнения......................291 «ава XIV. Логарифмическая линейка......... 297 § 157. Части логарифмической линейки и названия шкал 297 § 158. Логарифмическая шкала.............. 298 § 159. Свойства логарифмической шкалы........• 300 § 160. О делениях на основной шкале.......... 301 § 161. Установка и чтение чисел на основной шкале (А и Л,)....................... 301 § 162. Умножение на линейке.............. 302 § 163. О значности числа...........• . . . . 304 §, 164. Подсчет значности произведения.......... 304 § 165. Деление ..................... 305 § 166. Примеры с умножением и делением........ 306 § 167. О делениях на шкале квадратов.......... 307 § 168. Умножение и деление на шкале квадратов .... 308 § 169. Возведение чисел в квадрат............ 309 § 170. Извлечение квадратного корня из чисел ...... 310 § 171. Возведение чисел в куб.............. 312 § 172. Извлечение кубичного корня из чисел....... 313 § 173. Простейшие комбинированные действия...... 314 § 174. Отыскание десятичных логарифмов чисел..... 315 § 175. Нахождение с помощью логарифмической линейки числа по данному его логарифму......... 316 \| § 176. Примеры вычислений с помощью шкалы логарифмов 317 § 177. Вычисление площади круга по его диаметру и об- ратная задача................... 319 ''- Упражнения...................... 321 \ Глава XV. Сложные проценты, соединения и бином . . 323 § 178. Формула сложных процентов........... 323 § 179. Срочные уплаты................. 325 - § 180. Срочные взносы................. . 326 § 181. Соединения.................... 327 § 182. Размещения.................... 327 § 183. Формула числа размещений............ 327 § 184. Перестановки.................... 329 § 185. Сочетания .................... 330 § 186. Свойство сочетаний................332 § 187. Бином Ньютона. Предварительные замечания . . . 333 § 188. Произведение двучленов, отличающихся только вторыми членами................... 333 § 189. Свойства формулы бинома............ 335 § 190. Метод математической индукции.......... 339 Упражнения....................... 340 Глава XVI. Комплексные числа и действия над ними . . 342 § 191. Комплексные числа................ 342 § 192. Геометрическое представление комплексных чисел 343 § 193. Сложение комплексных чисел.......... . 345 194. Вычитание комплексных чисел.......• . . . 346 195. Умножение комплексных чисел.......... 347 196. Деление комплексных чисел............ 348 197. Степени мнимой единицы............. 349 198. Возведение в степень комплексного числа..... 350 199. Извлечение квадратного корня из комплексного числа....................... 350 § 200. Тригонометрическая форма комплексного числа . . 352 § 201. Умножение комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме..............; . 354 § 202. Геометрическое истолкование умножения комплексных чисел ...... ............... 354 § 203. Деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме................ 355 § 204. Возведение в степень комплексного числа, заданного в тригонометрической форме......... 35S § 205. Извлечение корня из комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме........... 357 Упражнения . , . . ,................. 3S1 ia в а XVII. Элементарные сведения из теории пределов ....................... 354 I § 206. Свойства абсолютных величии........... 364 ! § 207. Функциональная символика............ 365 § 208. Область определения функции........... 366 '.'§ 209. Предел последовательности............ 367 ; § 210. Геометрическая иллюстрация приближения после- i"; довательности к пределу............. 368 ;-§ 211. Предел функции / (х)......".......... 369 «••§ 212. Бесконечно малая функция............ 370 I § 213. Бесконечно большая функция........• . . 371 \| § 214. Связь между бесконечно малой и бесконечно боль- \| шой величинами.................. 373 F § 215. Свойства бесконечно малых функций ....... 374 \| § 216, Теоремы о пределах................ 376 if 217. Признак существования предела последователь- ности....................... 378 218. Длина окружности как предел......• . . . . 379 219. Вычисление длины окружности.......... 380 220. Два замечательных предела............ 381 221. Примеры на отыскание пределов............. 384 222. Сумма бесконечно убывающей геометрической про- Г грессии.............•........ 387 ; § 223. Обращение периодической десятичной дроби в обыкновенную ..................... 388 § 224. Приращение аргумента и функции......... 389 § 225. Геометрический смысл приращений аргумента и "• функции ..................... 390 '§226. Непрерывность функции.............. 391 § 227. Исследование функции на непрерывность..... 392 = § 228. Свойства функции, непрерывной на отрезке .... 393 ; Упражнения...................... 394 Пава XVIII. Производная . . . •............. 395 229. Вводное замечание................ 393 230. Задачи, приводящие к понятию производной .... 397 231. Определение производной............. 401 232. Общее правило отыскания производной...... 403 .233. Основные формулы диффгренцирования.......404 " 234. Производная суммы................ 405 235. Производная произведения............. 407 236. Производная частного............... 408 237. Производные тригонометрических функций . . . • 409 -238. Сложная функция....... . ......... 411 > 239. Производная сложной функции.......... 411 '240. Производная логарифмической функции . ..... 413 .Упражнения...................... 415 М'ва XIX. Приложение производной к исследованию функций ..................... 416 § 241. Возрастание и убывание функции.....• • . • 416 § 242. Аналитические признаки возрастания и убывания функции...................... 417 § 243. Максимум и минимум функции..........420 JL § 244. Необходимые и достаточные условия существования экстремума функции.............420 . § 245. Первое правило исследования функции на экстремум.......................422 § 246. Вторая производная......• •........426 § 247. Физический смысл второй производной......426 § 248. Применение второй производной к исследованию функций.....................427 § 249. Второе правило исследования функции на экстремум ........................429 § 250. Практические задачи на отыскание экстремальных значений функции.................431 § 251. Применение производных к отысканию приближенных значений корней уравнения ... ....... 436 Упражнения...................... 439 тветы к упражнениям...............441 Цена: 100руб.
Назад	Заказ	На главную страницу