ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий учебник составлен в соответствии с программой по математике для средних технических учебных заведений, утвержденной Министерством высшего и среднего специального образования СССР в 1964 г., и отражает внесенные в нее изменения.
За основу взят учебник по геометрии П. П. Андреева, в котором первые пять глав, посвященные планиметрии, заменены разделом «Геометрические преобразования плоскости». Этот раздел содержит описание следующих геометрических преобразований плоскости: параллельный перенос, осевая и центральная симметрия, вращение, гомотетия I рода, гомотетия II рода.
Поскольку по новой программе курс тригонометрии отдельно не читается, то в данный учебник включены новые главы, в которых излагаются решения прямоугольных и косоугольных треугольников (главы вторая и третья) и приложение тригонометрии к решениям задач стереометрии (глава десятая). Остальные вопросы тригонометрии не внесены в учебник, чтобы избежать дублирования соответствующего материала, излагаемого в курсе алгебры.
Раздел стереометрии, входивший в учебник П. П. Андреева, подвергнут незначительной переработке, — к сожалению, без участия автора, недавно скончавшегося.
Изменен порядок изложения материала, посвященного вычислениям поверхностей и объемов многогранников и
круглых тел, включены некоторые новые параграфы (правильные многогранники, понятие о сферическом треугольнике и т. д.)-
Так же как и в учебнике «Геометрия» Андреева, слово «отрезок» заменяет понятие «длина отрезка», «периметр» — «длина периметра», «сторона» — «длина стороны» и т. д.
Основные идеи теории геометрических преобразований заимствованы у И. М. Яглома и В, Г. Болтянского, любезно предоставивших свою рукопись.
В заключение пользуюсь приятной возможностью поблагодарить А. Ф. Чистякову и редактора книги Н. А. Угарову за ряд весьма ценных указаний, сделанных ими при чтении рукописи.
Э. Шувалова
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие......................., 7
ПЛАНИМЕТРИЯ
Глава первая. Геометрические преобразования. ... 9
§ 1. Преобразование плоскости ............. 9
§ 2. Параллельный перенос............... 9
§ 3. Свойства параллельного переноса ......... 11
§ 4. Осевая симметрия................. 14
§ 5. Свойства осевой симметрии............ 16
§ 6. Центральная симметрия.............. 19
§ 7. Свойства центральной симметрии.......... 21
§ 8. Определение геометрического преобразования плоскости ....................... 23
§ 9. Вращение..................... 24
§ 10. Вращение — геометрическое преобразование .... 26
§ 11. Свойства вращения................ 27
§ 12. Задачи ...................... 28
§ 13. Гомотетия I рода.................. 29
§ 14. Гомотетия I рода — геометрическое преобразование . 30
§ 15. Свойства гомотетии I рода............. 31
§ 16. Пантограф..................... 34
§ 17, Задачи....................... 35
§ 18. Гомотетия II рода................. 37
§ 19. Свойства гомотетии II рода............ 38
Задачи к первой главе.................. 40
Глава вторая. Решение прямоугольных треугольников 42
§ 20. Соотноаюния между основными элементами в прямоугольном треугольнике............... 42
§ 21. Решение прямоугольных треугольников....... 43
§ 22. Другие типы задач на решение прямоугольных треугольников .................... 45
. Задачи ко второй глазе................. 48
Глава третья. Косоугольные треугольники...... 49
§ 23. Теорема синусов.................. 49
§ 24. Теорема косинусов................. 50
1* 3
§ 25. Выражение тангенса половинного угла через стороны
треугольника и радиус вписанного круга ...... 52
§ 26. Площади треугольника, параллелограмма, произвольного четырехугольника............... 54
§ 27. Определение радиусов описанного и вписанного
кругов....................... 57
§ 28. Формула Герона.................. 59
§ 29. Сводка формул для косоугольного треугольника . . 60
§ 30. Основные случаи решения косоугольных треугольников ....................... 60
§ 31. Решение треугольника по трем сторонам...... 61
§ 32. Решение треугольника по двум сторонам и углу, заключенному между ними.............. 63
§ 33. Решение треугольника по стороне и двум прилежащим углам..............~....... 64
§ 34. Решение треугольника по двум сторонам и углу,
противолежащему одной из них.......... 65
§ 35. Некоторые другие типы задач на решение косоугольных треугольников .............. 66
§ 36. Применение тригонометрии к измерениям на местности ....................... 69
§ 37. Применение тригонометрии к решению задач планиметрии и физики.................. 71
Задачи к третьей главе . . <.............. 78
СТЕРЕОМЕТРИЯ
Глава четвертая. Прямые и плоскости........ 80
§ 38. Предварительные замечания............ 80
§ 39. Основные свойства ллоскости. Аксиомы...... 81
§ 40. Взаимное расположение двух прямых в пространстве . 82
§ 41. Взаимное расположение прямой и плоскости .... 83
§ 42. Перпендикуляр к плоскости............ 83
§ 43. Наклонная и проекция наклонной на плоскость ... 85
§ 44. Теорема о трех перпендикулярах.......... 86
§ 45. Угол между прямой и плоскостью......... 87
§ 46. Теорема о плоскости, перпендикулярной к одной
из параллельных прямых.............. 88
§ 47. Два признака параллельности прямой и плоскости . 89 § 48. Теорема о плоскости, проходящей через прямую,
параллельную другой плоскости .......... 90
§ 49. Теорема о двух прямых, параллельных третьей ... 91
§ 50. Два признака параллельности плоскостей...... 91
§ 51. Теорема о двух плоскостях, пересеченных третьей . 92 § 52. Теорема о прямой, перпендикулярной к одной из двух
параллельных плоскостей.............. 93
§ 53. Отрезки параллельных, заключенные между параллельными плоскостями ............... 93
§ 54. Углы с параллельными сторонами......... 94
§ 55. Расстояние между скрещивающимися прямыми ... 94
Задачи к четвертой главе ................ 95
Глава пятая. Двугранные угла, перпендикулярные
плоскости, и многогранные углы........... 98
§ 56. Определения.................... 98
§ 57. Равенство двугранных углов............ 99
§ ?8. Прямой двугранный угол.......,....... 100
§ 59. Измерение двугранного угла............ 101
§ 60. Признак перпендикулярности плоскостей...... 101
§ 61. Прямая, лежащая в одной из взаимно перпендикулярных плоскостей................. 101
§ 62. Теорема...................... 102
§ 63. Определение проекции............... 102
§ 64. Площадь проекции плоского многоугольника .... 103
§ 65. Трехгранный угол................. 106
§ 66. Многогранный угол................ 103
Задачи к пятой главе.................. 110
Глава шестая. Многогранники и круглые тела .... 112
§ 67. Понятие о многограннике.............. 112
§ 68. Призма...................... 112
§ 69. Параллелепипед.................. 114
§ 70. Свойство диагонали прямоугольного параллелепипеда 115
§ 71. Пирамида..................... 116
§ 72. Свойства сечений пирамиды плоскостью, параллельной основанию................... 118
§ 73. Понятие о правильных многогранниках....... 120
§ 74. Цилиндрическая поверхность............ 122
§ 75. Прямой круговой цилиндр ....... t. ..... 122
§ 76. Коническая поверхность.............. 123
§ 77. Прямой круговой конус.............. 124
§ 78. Усеченный конус................. 125
Задачи к шестой главе.................. 126
Глава седьмая. Поверхности многогранников и круглых тел......................... 128
§ 79. Поверхность призмы................ 128
§ 80. Поверхность полной и усеченной пирамид..... 129
§ 81. Боковая и полная поверхности цилиндра...... 130
§ 82. Развертка цилиндра................ 131
§ 83. Боковая и полная поверхности конуса....... 132
§ 84. Развертка конуса ................. 133
§ 85. Боковая и полная поверхности усеченного конуса . . 134
§ 86. Развертка усеченного конуса............ 135
Задачи к седьмой главе................ . 136
Глава восьмая. Объемы многогранников и круглых
тел........................... 139
§ 87. Основные допущения об объемах.......... 139
§ 88. Объем прямоугольного параллелепипеда...... 139
§ 89. Принцип Кавальери................ 142
§ 90. Объем призмы................... 143
§ 91. Равновеликость пирамид, имеющих равновеликие
основания и равные высоты............. 146
§ 92. Объем пирамиды.................. 146
§ 93. Объем усеченной пирамиды............ 148
§ 94. Объем цилиндра . ,................ 151
§ 95. Объем конуса................... 152
§ 96. Объем усеченного конуса............. 152
Задачи к восьмой главе................. 154
Глава девятая. Шар.................. 160
§ 97. Определение . , « ,............... 160
§ 98. Сечение сферы плоскостью............ 160
§ 99. Касательная плоскость.............. 161
§ 100, Понятие о сферическом треугольнике....... 162
§ 101. Лемма о поверхности тела вращения....... 164
§ 102. Поверхность шара, шарового сегмента и шарового
слоя....................... 165
§ 103. Объем шара, шарового сегмента и шарового сектора 168
Задачи к девятой главе ................. 173
Глава десятая. Применение тригонометрии к решению задач стереометрии................ 176
§ 104. Многогранники и круглые тела.......... 176
§ 105. Поверхность и объем призмы........... 1
§ 106. Поверхность и объем пирамиды..........' 185
§ 107. Поверхности и объемы круглых тел........ 192
Задачи к десятой главе ................. 199
|
