В связи с потребностями новой техники инженерная практика наших дней все чаще и чаще встречается с математическими задачами, точное решение которых весьма сложно или неизвестно. В этих случаях обычно прибегают к тем или иным приближенным вычислениям. Вот почему приближенные и численные методы математического анализа получили за последние годы широкое развитие и приобрели исключительно важное значение.
Рост производительных сил в XX столетии обусловил решительный прогресс в области вычислительной техники, приведший к созданию современных электронных вычислительных машине программным управлением. Это неограниченно расширило вычислительные возможности математики: задачи, для решения которых при ручном счете требовались годы, сейчас сплошь и рядом решаются за несколько часов, причем непосредственный счет занимает минуты.
В свою очередь, новые вычислительные средства вызвали переоценку известных методов решения задач с точки зрения целесообразности их реализации на современных вычислительных машинах и стимулировали создание более эффективных приемов.
Умелое применение вычислительной техники немыслимо без знания вычислительной математики. В настоящее время трудно себе представить творчески работающего инженера-исследователя или специалиста по экономическому планированию, не владеющего методами приближенного анализа. Массовое появление вычислительных центров, как самостоятельных, так и при ряде учебных и научно-исследовательских институтов, также неизбежно ставит вопрос о необходимости повышения математической подготовки инженеров, в первую очередь в области приближенных вычислений.
Указанные выше обстоятельства делают актуальным написание учебных пособий по вычислительной математике для инженеров, экономистов и т. д.
Настоящая книга посвящена избранным вопросам численного анализа: приближению функций и приближенному решению дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными). Такой выбор материала обусловлен тем, что вопросы, связанные с
решением алгебраических уравнений и численными методами линейной плгсГфы и др., имеются в вышедшей в 1960 г. книге авторов «Основы Имчислительной математики»*).
Цель этой книги, как и указанной вытле, дать систематическое и кжременное изложение важнейших приемов приближенного и численного анализа (в пределах рассматриваемых тем) на базе общего in уювского курса высшей математики.
Для расширения математического кругозора инженера дается понятии о нетрадиционных методах вычислений; методе Монте-Карло и методе моделирования.
Как и в первой книге, основные методы доведены до численных приложений: даны расчетные схемы и приведены числовые примеры •С подробным ходом решения. В целях доходчивости большинство [ примеров рассматривается в упрощенной трактовке и носит иллюст-1>;инвный характер.
Для понимания основного текста книги достаточно знания высшей математики в объеме двух первых курсов втузов машиностроительных специальностей. Необходимые сведения по математике, не входящие в общую программу втузов, излагаются в соответствующих главах. Использованная и дополнительная литература указана после ' каждой главы.
Книга предназначена для студентов втузов с повышенной программой по высшей математике и инженеров, занимающихся прикладными иопросами, а также для работников вычислительных бюро и центров. Кроме того, книга окажется полезной студентам физико-математических факультетов педагогических институтов и студентам экономических вузов.
В задачу авторов не входило изложение сведений по технике решения инженерных задач на электронных вычислительных машинах и программированию. По этим вопросам следует обратиться к специальным руководствам.
Авторы приносят благодарность коллективу кафедры высшей математики Артиллерийской инженерной академии им. Ф. Э. Дзержинского, принимавшему участие в обсуждении рукописи. Авторы выражают также искреннюю признательность за обстоятельные рецензии проф. Г). М. Левитану и проф. X. Л. Смолицкому, критические замечания которых были учтены при окончательном редактировании текста.
*) Второе и третье издания указанной книги вышли соответственно и 1963 и 1966 гг.
Москва 1961 г. Авторы
ОГЛАВЛЕНИЕ
Из предисловия к первому изданию.................. 6
Предисловие ко второму изданию................... 8
Предисловие к третьему изданию................... 8
Введение ............................... 9
Литература к введению........................ 11
Глава I. Приближение функций................... 12
§ 1. Постановка задачи о приближении функций........ 12
§ 2. Интерполирование функций............... . 13
§ 3. Интерполирование периодических функций с помощью тригонометрических полиномов............... 17
§ 4. Точечное квадратичное аппроксимирование функций .... 21
§ 5. Функции, ортогональные на точечном множестве ..... 27
§ 6. Полиномы Чебышева, ортогональные на системе равноотстоящих точек........................ 34
§ 7. Интегральное квадратичное аппроксимирование функций на
отрезке.......................... 40
§ 8. Ортогональные на промежутке системы функций ..... 43
§ 9. Понятие о гармоническом анализе............. 49
§ 10. Полиномы Лежандра................... 56
§ 11. Ортогональность с весом................. 63
§ 12. Полиномы Чебышева................... 65
§ 13. Понятие о равномерном приближении функций ...... 71
Литература к главе I...................... 78
Глава II. Эмпирические формулы.................. 79
§ 1. Вводные замечания.................... 79
§ 2. Линейная зависимость................... 82
§ 3. Метод выравнивания ................... 84
§ 4. Квадратичная (параболическая) зависимость........ 89
§ 5. Определение параметров эмпирической формулы ...... 91
§ 6. Метод выбранных точек.................. 92
§ 7. Метод средних...................... 93
§ 8. Метод наименьших квадратов............... 96
§ 9. Некоторые соображения о выборе вида эмпирической формулы с двумя параметрами ................ 101
§ 10. Эмпирические формулы, содержащие три параметра .... 107
§ 11. Уточнение полученной эмпирической формулы ....... 112
§ 12. Общий метод определения параметров эмпирической формулы 114 Литература к главе II.................. . 120
Глава III. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных
уравнений...................... . 121
§ 1. Общие замечания.....................121
§ 2. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью
степенных рядов .....................128
§ 3. Метод последовательных приближений.......... . 134
§ 4. Метод численного интегрирования............ . 149
§ 5. Метод Эйлера.......................144
§ 6. Модификации метода Эйлера................ 147
§ 7. Метод Рунге—Кутта....................151
§ 8. Метод Адамса.......................156
§ 9. Метод А. Н. Крылова последовательных сближений . . . 163
§ 10. Метод Милна.......................168
§ 11. Методы, основанные на применении производных высших
порядков........................ . 181
Численное интегрирование дифференциальных уравнений второго порядка ..................... 187
13. Метод Чаплыгина .• ...................191
14. Метод Ньютона—Канторовича...............201
15. Некоторые замечания об оценке погрешностей решений дифференциальных уравнений................. 202
Литература к главе III..................... 207
Глава IV. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений..........................209
§ 1. Общая постановка краевой задачи.............209
§ 2. Линейная краевая задача............*...-.. 212
§ 3. Редукция к задаче Коши двухточечной краевой задачи .для
линейного уравнения второго порядка......... . 217
§ 4. Метод конечных разностей................. 219
§ 5. Метод прогонки....................... 224
§ 6. Метод коллокации.................... . 232
§ 7. Метод наименьших квадратов ...............234
§ 8. Метод Галеркина .....................237
§ 9. Понятие о приближенных методах решения общей краевой
задачи.........................., 240
Литература к главе IV.....................243
Глава V, Приближенные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными . . . 244 § 1. Классификация дифференциальных уравнений с частными
производными..................... . 244
§ 2. Начальные и краевые условия. Задача Коши. Смешанная
задача. Корректность постановки смешанной задачи .... 247 § 3. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа .... 253 § 4. Некоторые сведения о гармонических функциях. Единственность решения задачи Дирихле..............255
§ 5. Уравнение Лапласа в конечных разностях ........257
§ 6. Решение задачи Дирихле методом сеток..........251
§ 7. Процесс Лнбмана ....................264
§ 8. Понятие о решении задачи Дирихле методом моделирования 270 § 9. Понятие о решении задачи Дирихле методом Монте-Карло 272
6 10. Метод сеток для уравнения параболического типа.....278
5 11. Устойчивость конечно-разностной схемы для решения уравнения теплопроводности .................. 281
§ 12. Метод прогонки для уравнения теплопроводности . . . . . 285 § 13. Метод сеток для уравнений гиперболического типа .... 290
§ 14. Понятие о методе прямых.................293
§ 15. Метод прямых для уравнения Пуассона..........297
Литература к главе V.....................302
I Г л « к а VI. Вариационные методы решения краевых задач......304
§ 1. Понятие о функционале и операторе............ 304
§ 2. Вариационная задача................... 308
§ 3. Основные теоремы вариационного метода решения краевых
задач ................... 309
§ 4. Сведение линейной краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка к вариационной
задаче
312
..........................он
§ 5. Краевые задачи для уравнений Пуассона и Лапласа .... 317
§ 6. Идея метода Ритца ....................321
§ 7. Метод Ритца для простейшей краевой задачи .......322
§ 8. Приложение метода Ритца к решению краевой задачи Штурма—
Лиувилля.........................324
§ 9. Метод Ритца для задачи Дирихле............ . 328
Литература к главе VI.....................331
I л а и а VII. Интегральные уравнения................332
§ 1. Основные виды линейных интегральных уравнений ..... 332 § 2. Связь между дифференциальными уравнениями и уравнениями
Вольтерра.........................335
§ 3. Связь линейной краевой задачи с интегральным уравнением
Фредгольма........................337
§ 4. Метод последовательных приближений...........338
§ 5. Решение интегрального уравнения методом конечных сумм 341
§ 6. Метод вырожденных ядер.................345
§ 7. Метод коллокации.....................353
§ 8. Метод наименьших квадратов ...............356
§ 9. Метод моментов......................358
Литература к главе VII ....................361
Приложение'!. Ортогональные полиномы Чебышева для п-\-1 равноотстоящих точек (ЯА(*) = .РА(0)/\П(*))......362
Приложение II. Первые 10 полиномов Лежандра Рп (х)......364
Приложение III. Первые 12 полиномов Чебышева Т„ (х).....364
Предметный указатель........................365
Цена: 150руб.
