В настоящей книге автор пытался отразить опыт работы по курсу математического анализа во втузе, которую ему пришлось вести в течение ряда лет под руководством члена-корреспондента АН СССР В. В. Голубева, а затем самостоятельно. Содержание книги, в основном, определяется программой курса математики для втузов, рассчитанной на 300—400 часов.
При изложении материала обращалось особое внимание на выяснение основных понятий и приложения математического анализа, а также на логическую стройность в изложении и расположении материала.
Отмечу особенности в изложении материала некоторых глав.
Изложение вопроса об исследовании функций (возрастание и убывание функции, максимум и минимум и т. д.) имеет некоторые методические трудности; привлечение формулы Тейлора делает изложение громоздким, изложение же наглядно-геометрическое вызывает неудовлетворенность как у учащихся, так и у учащих. В настоящей книге этот вопрос изложен с помощью применения формулы конечных приращений.
Среди методов приближенного интегрирования рассмотрена формула Чебышева. В главе о свойствах многочленов дано понятие о теории Чебышева — о наилучших приближениях функций с помощью многочленов. Эти разделы курса в учебниках приводятся редко, хотя часто используются инженерами в их практической деятельности.
Даны понятия о качественной теории дифференциальных уравнений и теории устойчивости Ляпунова.
Автор отказался от традиционного изложения материала о кратных интегралах. В главе «Кратные интегралы» геометрические соображения используются лишь для наглядной иллюстрации теорем, доказанных аналитически. Этот подход, как показывает опыт, вполне усваивается учащимися.
Глава «Ряды Фурье», кроме изложения формальной теории, содержит доказательство сходимости рядов Фурье для кусочно гладких функций. Без доказательства приведены теоремы о рядах Фурье для функций более широкого класса.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие ................ ............. It
ГЛАВА I
ЧИСЛО. ПЕРЕМЕННАЯ. ФУНКЦИЯ
§ 1. Действительные (вещественные) числа .............. 1&
2. Изображение действительных чисел точками числовой оси .... 14
3. Абсолютная величина действительного числа ........... 16-
4. Математическая величина. Переменные и постоянные величины . . 17
5. Характер изменения и область изменения переменной величины . 20
6. Упорядоченность переменной величины. Монотонно изменяющиеся
и ограниченные переменные величины .............. 22
§ 7. Функция ............................ 24
§ 8. Способы задания функций .................... 27
§ 9. Явные и неявные функции ................... 33
§ 10. Возрастающие, убывающие и монотонные функции ........ 35-
§11. Функция, ограниченная в промежутке .............. 35
§ 12. Функции четные и нечетные. Периодические функции ...... 36-
§ 13. Функции целочисленного и непрерывного аргумента ....... 38
§ 14. Алгебраические функции .................... 391
§ 15. Основные элементарные функции ................ 43
§ 16. Элементарные функции ..................... 48
§ 17. Полярная система координат .................. 49-
Упражнения к главе 1 .......... ........... 51
ГЛАВА II ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ
§ 1. Предел переменной величины .................. 53
§ 2. Предел функции натурального аргумента (предел последователь-
ности) ............................. 59-
• 3. Предел функции непрерывного аргумента ............ 62
i 4. Обобщение понятия предела функции * 1) ............ 68
i 5. Функция, ограниченная при х -> а или при х~>со ....... 75
6. Бесконечно малые и бесконечно большие величины ....... 76
7. Основные свойства бесконечно малых .............. 80-
i 8, Основные теоремы о пределах (правила предельного перехода) . 83
') Звездочкой отмечены параграфы, частично написанные Ю. С. Очаном* двумя звездочками — параграфы, написанные им полностью.
Стр.
•§ 9. Признаки существования предела. Дополнительные сведения о пределах............................ 86
§ 10, Предел функции------- при х -»• 0 *............... 88
§11. Число е. Натуральные логарифмы................ 91
§ 12. Сравнение бесконечно малых величин.............. 97
| 13. Непрерывные функции. Точки разрыва............. 101
§ 14. Свойства функций, непрерывных в точке. Непрерывность элементарных функций........................ 109
§ 15. Взаимно обратные функции '*
§ 16. Сложная функция **...................... 116
§ 17, Свойства функций, непрерывных в замкнутом промежутке .... 119
Упражнения к главе II..................... 123
ГЛАВА III ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
§ 1. Скорость движения . ,..................... 126
§ 2. Определение производной.................... 128
§ 3 Геометрическое значение производной.............. 130
§ 4. Дифференцируемость функщот................. 131
-§ 5. Нахождение производных от элементарных функций. Производная
от функции у = хп при п целом и положительном........ 133
§ 6. Производные от функций у = sin х; у = cos x.......... 135
•§ 7. Производные: постоянной, произведения постоянной на функцию,
суммы, произведения, частного нескольких функций....... 136
§ 8. Производная логарифмической функции............. 141
•§ 9. Производная от сложной функции................ 142
§ 10. Производные функций у г= tg х, у = ctg х, у = In \ х \...... 144
§ 11. Производная неявной функции................. 145
•§ 12. Производные степенной функции при любом действительном показателе, показательной функции, сложной показательной функции . 147
§ 13. Производная обратной функции................. 149
§ 14. Производные обратных тригонометрических функций...... 151
§ 15. Таблица основных формул дифференцирования ......... 153
§ 16. Параметрическое задание функции............... 154
•§ 17. Уравнения некоторых кривых в параметрической форме..... 156
§ 18. Производная функции, заданной параметрически **....... 158
•§ 19. Гиперболические функции *................... 160
§,20. Дифференциал *........................ 163
§ 21. Геометрическое значение дифференциала............ 168
§ 22. Производные различных порядков................ 169
§ 23. Дифференциалы различных порядков.............. 171
§ 24. Производные различных порядков от неявных функций и функций, заданных параметрически.................. 172
§ 25. Механическое значение второй производной........... 174
| 26. Уравнения касательной и нормали. Длины подкасательной и поднормали ............................ 175
§ 27. Геометрическое значение производной радиуса-вектора по полярному углу........................... 178
Упражнения к главе III..................... 179
ГЛАВА IV НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ
<§ 1. Теорема о корнях производной (теорема Ролля)......... 188
;§ 2. Теорема о конечных приращениях (теорема Лагранжа) ..... 190
Стр.
j 3. Теорема об отношении приращений двух функций (теорема Коши) 191
$ 4. Предел отношения двух бесконечно малых величин («Раскрытие
неопределенностей вида -тг»).................. 193
: 5. Предел отношения двух бесконечно больших величин («Раскрыто \
тие неопределенностей вида — »1............... 195
i 6. Формула Тейлора......................... 200
7. Разложение по формуле Тейлора функций ех, sin л:, cos л: .... 203
Упражнения к главе IV..................... 206
ГЛАВА V ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ
§ 1. Постановка задачи....................... 208
JJ 2. Возрастание и убывание функции................ 209
§ 3. Максимум и минимум функций................. 211
§ 4. Схема исследования дифференцируемой функциу на максимум и
минимум с помощью первой производной............ 217
S 5. Исследование функции на максимум и минимум с помощью второй
производной.......................... 220
§ 6. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .... 223
§ 7. Применение теории максимума и минимума функций к решению
задач ............................. 225
§ 8. Исследование функции на максимум и минимум с помощью формулы Тейлора......................... 227
§ 9. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба........ 229
§ 10. Асимптоты........................... 235
§ 11. Общий план исследования функций и построения графиков . . . 240
§ 12. Исследование кривых, заданных параметрически......... 244
Упражнения к главе V..................... 248.
ГЛАВА VI КРИВИЗНА КРИВОЙ
1. Длина дуги и ее производная *................. 253
§ 2. Кривизна.........................., . 256
§ 3. Вычисление кривизны...................... 257
§ 4. Вычисление кривизны линии, заданной параметрически...... 260
§ 5. Вычисление кривизны линии, заданной уравнением в полярных
координатах.......................... 260
6. Радиус и круг кривизны. Центр кривизны. Эволюта и эвольвента 261
7. Свойства эволюты ....................... 266
Упражнения к главе VI .................... 270
ГЛАВА VII КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. МНОГОЧЛЕНЫ
1. Комплексные числа. Исходные определения........... 272
2. Основные действия над комплексными числами......... 274
3. Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня из комплексного числа....................... 276
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1. Примеры функций. Понятие функции (43). 2. Обозначения (43). 3. Точное определение понятия функции (44). 4. Различные способы задания функций (44). 5. Способы представления функций. Таблицы (44). 6. Графики (46). Задачи (47). 7. Ограниченные функции. Монотонные функции (47).
ГЛАВА III ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Определение и свойства пределов .................. 48
1. Определение предела функции (48). 2. Условие существования предела (49). 2а. Теоремы о пределах функций (52). 3. Действия над пределами (54).
Односторонние и несобственные пределы.
Вычисление некоторых пределов................... 55
4. Односторонний предел (55). 5. Несобственные пределы (57). 6. Вычисление некоторых пределов (59). Задачи (62).
ГЛАВА IV
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
Определение и свойства непрерывных функций............ 63
1. Определение (63). 2. Необходимое и достаточное условие непрерывности функции (64). 3. Геометрическая интерпретация (64). 4. Теорема о сохранении знака для непрерывной функции (65). 5. Действия над непрерывными функциями (65).
Равномерная непрерывность..................... 65
6. Определение (65). 7. Геометрическая интерпретация (65).
8. Непрерывность равномерно непрерывной функции (66). Задачи (68).
9. Основные теоремы о функциях, непрерывных в замкнутом интервале (68).
Сложные функции.......................... 69
10. Определение (69). 11. Непрерывность сложной функции (70). Обратные функции.......................... 70
12. Определение (70). 13. Геометрическая интерпретация (71). 14. Непрерывность обратной функции (71).
Непрерывность и графики элементарных функций.......... 72
15. Степенная функция у = х" (72). 16. Показательная функция у = ах (73). 17. Логарифмическая функция y = logax (74). 18. Тригонометрические функции (74). 19. Обратные тригонометрические функции (76).
ГЛАВА V
ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
Определение и смысл производной.................. 79
1. Определение производной (79). 2. Односторонние прои.чвод-ные (81). 3. Существование производной и непрерывность (81). 4. Производная как функция (81). 5. Интерпретация производной в геометрии и физике (82). 6. Непрерывные функции, не имеющие производной и данной точке (примеры) (83).
I еоремы о производной.......................
7. Производная постоянной функции (84). 8. Производная степенной ФУНКЦИИ (84). 9. Производная произведения постоянной на функцию (85). Ю. Производная суммы, произведения, частного (85). Задачи (88). 11. Производная сложной функции (88). 12. Производная обратной функции (89).
Дифференциал функции............,.......... 91
13. Дифференцируемые функции. Определение дифференциала (91). l.'ia. Производная сложной функции (92). 14. Инвариантность формы первого дифференциала (93). 15. Дифференциал суммы, произведения и частного (94). 16. Геометрическая интерпретация дифференциала (95).
Производные элементарных функций................. 95
17. Производная степенной функции (95). Задачи (97). 18. Произ-подная логарифмической функции (98). Задачи (99). 19. Производная показательной функции (99). Задачи (100). 20. Производные тригонометрических функций (100). Задачи (102). 21. Производные обратных тригонометрических функций (102). Задачи (105). 22. Логарифмическая производная (105). Задачи (106).
Производные и дифференциалы высших порядков..........106
23. Производные высших порядков (106). Задачи (107). 24. Формула Лейбница (108). Задачи (ПО). 25. Параметрическое представление функции (ПО). Задачи (112). 26. Дифференциалы высших порядков (112). Задачи (116).
ГЛАВА VI
ТЕОРЕМА РОЛЛЯ. ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
1. Теорема о среднем значении (119). 2. Теорема Ролля (120). 3. Доказательство теоремы Ролля (120). 4. Доказательство теоремы о среднем значении (121). 5. Следствия из теоремы о среднем значении (122). 6. Формула Тейлора (122). 7. Доказательство формулы Тейлора (123). Задачи (127). 8. Выпуклость (128).
ГЛАВА VII
МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ; ТОЧКИ ПЕРЕГИБА. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Экстремум. Точки перегиба.....................130
1. Определение экстремума (130). 2. Необходимое условие существования экстремума (131). 3. Достаточные условия существования экстремума (133). 4. Более общее достаточное условие (134). 5. Точки перегиба (137). 6. Экстремумы функций, заданных параметрически (138). Задачи (140). Неопределенные выражения (раскрытие неопределенностей).....140
7. Неопределенности вида -тт. - - (140). 8. Неопределенности вида 0 • оо, оо — оо, 1°°, оо°, 0° (143). Задачи (145),
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора перевода................• •..... 10
Предисловие автора ......................... 10
Введение.............................. 11
ТОМ ПЕРВЫЙ
ГЛАВА I ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
Понятие последовательности..................... 13
I. Определение последовательности (13). 2. Монотонные последовательности (14). 3. Ограниченные последовательности (15). 4. Действия над последовательностями (15). Задачи (16).
Интуитивное понятие предела последовательности .......... IS
5. Предел монотонной последовательности (16). 6. Общее определение предела последовательности (17). 7. Частный признак сходимости (17). 8. Действия над сходящимися последовательностями (18). 9. Последовательности, расходящиеся к ± °о (18). 10. Теоремы о последот вательностях, расходящихся к ± оо (19). Задачи (20).
Строгое определение предела последовательности .......... 20
II. Отрезки последовательности (20). 12. Последовательности, отличающиеся лишь порядком членов (21). 13. Понятие приближения (21). 14. Определение предела (22). Задачи (25).
Теоремы о пределах последовательностей ........ ...... 25
15. Сходимость последовательностей с равными членами (25). 16. Независимость предела от порядка членов (25). 17. Сходимость подпоследовательностей (26). 18. Предел последовательности с неотрицательными членами (27). 19. Предел суммы и разности последовательностей (27). 20. Предел произведения последовательностей (29). 21. Предел произведения последовательности на число (30). 22. Предел частного двух последовательностей (30). 22а. Предельный переход в неравенстве (32). Задачи (32).
Признаки сходимости........................ 32
23. Сходимость монотонных ограниченных последовательностей (32). 24. Условие Коши (32). 25. Ограниченность сходящихся последовательностей (33). 26. Теорема о пределе промежуточной переменной (34). Задачи (35).
Вычисление некоторых пределов. Число е.............. 36
27. Вычисление некоторых пределов (36). 28. Число е = 2,71828... (38).
РЯДЫ
Ряды с постоянными членами....................146
1. Определение ряда. Сходящиеся ряды (146). 2. Предел сходящейся последовательности как сумма ряда (147). 3. Необходимое условие сходимости (148). 4. Ограниченные ряды (149). 5. Абсолютно сходящиеся ряды (150). 6. Независимость суммы ряда от порядка членов (151). 7. Условно сходящиеся ряды (153). 8. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда. Теорема Лейбница (153).
Признаки сходимости........................155
9. Сравнение рядов (155). 9а. Признак сравнения в предельной форме (156). 10. Признак Коши (157). 11. Признак Даламбера (159).
Последовательности и ряды функций.................161
12. Определение сходимости функциональной последовательности (161). 13. Равномерная сходимость (163). 14. Действия над равномерно сходящимися функциональными последовательностями. Необходимое и достаточное условие равномерной сходимости (164). 15. Достаточное условие непрерывности предельной функции (165). 16. Равномерная сходимость рядов (166). 17. Абсолютная и равномерная сходимость функциональных рядов (167). 18. Дифференцирование последовательностей и рядов (168). 19. Степенные ряды (170). 20. Радиус сходимости степенного ряда (171). 21. Непрерывность суммы степенного ряда (172). 22. Вычисление радиуса сходимости (172). 23. Дифференцирование степенных рядов (173). 24. Ряд Тейлора (174). Задачи (179).
ГЛАВА IX
ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Понятие функции двух переменных .................180
1. Плоские множества. Области (180). 2. Граничные точки. Замкнутые области (180). 3. Области, задаваемые неравенствами (181). Задачи (181). 4. Функции двух переменных (181). 5. Геометрическая интерпретация функции двух переменных (182). 6. Линии уровня (183). Задачи (184).
Предел и непрерывность функции..................184
7. Определение предела (184). 8. Теоремы о пределах (185). 9. Непрерывность. Равномерная непрерывность (185).
Частные производные........................187
10. Определение частных производных (187). 11. Частные производные второго порядка (188). 17. Теорема об изменении порядка дифференцирования (189). Задачи (190). 13. Частные производные высших порядков (190). 14. Сложная функция (191). 15. Частные производные сложных функций (191). Задачи (193).
Неявные функции..........................193
16. Определение неявной функции (193). 17. Теорема существования неявной функции (194). 18. Производная неявной функции (195). 19. Максимумы и минимумы неявных функций (197). Задачи (198).
ГЛАВА х
ФОРМУЛА И РЯД ТЕЙЛОРА. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Формула и ряд Тейлора функции двух переменных.........199
1. Формула Тейлора (199). 2. Ряды Тейлора и Маклорена (201). Максимумы и минимумы функций двух переменных.........202
3. Определение экстремума (202). 4. Необходимые условия суще-гпювания экстремума (202). 5. Достаточное условие существования ыкстремума (203). Задачи (206).
Дифференциал функции двух переменных..............207
6. Дифференцируемые функции двух переменных. Определение диф-с|]|'ренциала (207). 7. Дифференциал сложной функции (208). 8. Применение к функциям одной переменной (209). 9. Случай, когда одна п i переменных является функцией другой (209). 10. Частные дифференциалы (210). 11. Касательная плоскость к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала (210). Задачи (211). 12. Дифференциалы высших порядков (212). Задачи (213).
ГЛАВА XI ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1. Области (214). 2. Функции многих переменных (215). 3. Предел. Непрерывность (215). 4. Частные производные (215). 5. Формула и ряд Тейлора (216).
ТОМ ВТОРОЙ
ГЛАВА XII НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
1. Первообразная функция (217). 2. Основные формулы (218). 3. Некоторые свойства неопределенного интеграла (219). 4. Интегрирование подстановкой (220). 5. Интегрирование по частям (223). (1. Интегралы от элементарных функций (224). 7. Формулы приведения (227). Задачи (230).
ГЛАВА XIII
ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
1. Разложение многочлена на множители (232). 2. Разложение рациональной функции на элементарные (простейшие) дроби (233). 3. Интегралы от рациональных функций (238). Задачи (239).
ГЛАВА XIV ИНТЕГРИРОВАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
1. Интегрирование простейших иррациональностей (242). 2. Биномиальные интегралы (243). 3. Интегрирование рациональных функций R (х, у) (244). 4. Некоторые частные случаи интегралов от рациональной функции К (х, у) (у = У ах2 + Ьх + с ) (247). 5. Замечания о преобразовании интеграла J К (х, у) dx (253). Задачи (258).
Стр.
§ 4. Показательная форма комплексного числа. Предел комплексной
переменной величины **.................... 279
§ 5. Понятие о функции комплексного переменного. Показательная
функция и ее свойства. Формула Эйлера *............ 280
§ 6. Разложение многочлена на множители............... 284
§ 7. О кратных корнях многочлена................. 289
§ 8 Разложение многочлена на множители в случае комплексных
корней............................. 290
§ 9. Приближенное вычисление действительных корней уравнения . . 291
§ 10. Интерполирование. Интерполяционная формула Лагранжа .... 295 § 11. О наилучшем приближении функций многочленами. Теория Чебы-
шева.............................. 297
Упражнения к главе VII.................... 299
ГЛАВА VIII ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Определение функции нескольких переменных.......... 301
§ 2. Геометрическое изображение функции двух переменных..... 304
§ 3. Частное и полное приращение функции............. 305
§ 4. Непрерывность функции нескольких переменных *........ 307
§ 5. Частные производные функции нескольких переменных..... 310
§ 6. Геометрическая интерпретация частных производных функции двух
переменных .......................... 312
§ 7. Полное приращение и полный дифференциал.......... 312
§ 8. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях .............................. 316
§ 9. Приложение дифференциала к оценке погрешности при вычислениях **............................ 317
§ 10. Производная сложной функции. Полная производная.......' 321
§11. Производная от функции, заданной неявно ** ......... 323
§ 12. Частные производные различных порядков............ 326
§ 13. Линии уровня......................... 330
§ 14. Производная по направлению.................. 331
§ 15. Градиент............................ 333
§ 16. Формула Тейлора для функции двух переменных ** ...... 336
§ 17. Максимум и минимум функции нескольких переменных ...... 340
§ 18. Максимум и минимум функции нескольких переменных, связанных
данными уравнениями (условные максимумы и минимумы) .... 348
§ Ю. Особые точки кривой...................... 353
Упражнения к главе VIII.........'........... 358
ГЛАВА IX
ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Уравнения кривой в пространстве................ 362
§ 2. Предел и производная векторной функции скалярного аргумента. Уравнение касательной к кривой. Уравнение нормальной плоскости ............................. 365
§ 3. Правила дифференцирования векторов (векторных функций) • . . 371 § 4. Первая и вторая производные вектора по длине дуги. Кривизна
кривой. Главная нормаль.................... 373
§ 5. Соприкасающаяся плоскость. Бинормаль. Кручение........ 379
§ 6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности......... 383
Упляжнения к главе IX..................... 386
ГЛАВА X НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1. Первообразная и неопределенный интеграл ........... 389
4> 2. Таблица интегралов ....................... 391
> 3. Некоторые свойства неопределенного интеграла ......... 393
i 4. Интегрирование методом замены переменной или способом под-
становки * ........................... 395
и 6. Интегрирование по частям ** ................ . 401
7. Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби и их инте-
грирование ........................... 405
§ 8. Разложение рациональной дроби на простейшие ......... 409
§ 9. Интегрирование рациональных дробей .............. 413
j 10. Способ Остроградского * .................... 416
§ 11. Интегралы от иррациональных функций ............. 419
12.
. Интегралы вида Г/? (х, Уах* + Ъх + с) dx ........... 421
§ 13. Интегрирование дифференциальных биномов ** ......... 425
§ 14. Интегрирование некоторых иррациональных функций с помощью
тригонометрических подстановок * ............... 428
S 15. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций . 431
S 16. Интегрирование некоторых неалгебраических функций **,... 435 § 17. О функциях, интегралы от которых не выражаются через элемен-
тарные функции * ....................... 436
Упражнения к главе X ..................... 437
ГЛАВА XI ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
VJ 1. Постановка задачи. Нижняя и верхняя интегральные суммы . . . 446
S 2. Определенный интеграл * .................... 449
S 3. Основные свойства определенного интеграла ........... 455
5 4. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона — Лейб-
ница .............................. 460
§ 5. Замена переменной в определенном интеграле .......... 465
§ 6. Интегрирование по частям ............... '. . . . 467
S 7. Несобственные интегралы * ................... 469
§ 8. Приближенное вычисление определенных интегралов ....... 479
§ 9. Формула Чебышева ....................... 484
§ 10. Интегралы, зависящие от параметра ............... 489
Упражнения к главе XI ..................... 492
ГЛАВА XII
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
§ 1. Вычисление площадей в прямоугольных координатах ....... 496
§ 2. Площадь криволинейного сектора в полярных координатах . . . 501
§ 3. Длина дуги кривой * ...................... 502
§ 4. Вычисление объема тела по площадям параллельных течений . . 509
К 5. Объем тела вращения ...................... 510
^ 6. Поверхность тела» вращения ................... 511
Стр.
§ 7. Вычисление работы с помощью определенного интеграла..... 513
§ 8. Координаты центра тяжести................... 515
Упражнения к главе XII.................... 519
ГЛАВА XIII ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Постановка задачи....................... 525
§ 2. Определения.......................... 528
§ 3. Дифференциальные уравнения первого порядка (общие понятия) . 529
§ 4. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными . . . 537
§ 5. Однородные уравнения первого порядка............. 540
§ 6. Уравнения, приводящиеся к однородным............ 542
§ 7. Линейные уравнения первого порядка.............. 545
§ 8. Уравнение Бернулли...................... 548
9. Уравнение в полных дифференциалах.............. 550
10. Интегрирующий множитель................... 553
11. Огибающая семейства кривых **................ 555
12. Особые решения дифференциального уравнения первого порядка . 562
13. Уравнение Клеро........................ 564
14. Уравнение Лагранжа...................... 566
15. Ортогональные и изогональные траектории........... 567
§ 16. Дифференциальные уравнения высших порядков * (общие понятия) .............................. 572
§ 17. Уравнение вида у(») =f(x)................... 574
§ 18. Некоторые типы дифференциальных уравнений второго порядка,
приводимых к уравнению первого порядка............ 578
§ 19. Графический метод интегрирования дифференциального уравнения
второго порядка ........................ 584
§ 20. Линейные однородные уравнения. Определение и общие свойства 585 § 21. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами ........................ 592
§ 22. Линейные однородные уравнения n-го порядка с постоянными
коэффициентами *........................ 596
§ 23. Неоднородные линейные уравнения второго порядка....... 598
§ 24. Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами...................... 603
§ 25. Неоднородные линейные уравнения высших порядков...... 611
§ 26. Дифференциальное уравнение механических колебаний...... 615
§ 27. Свободные колебания...................... 616
§ 28. Вынужденные колебания.................... 618
§ 29. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений...... 622
§ 30. Понятие о теории устойчивости Ляпунова *........... 628
Упражнения к главе XIII.................... 635
ГЛАВА XIV КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Двойной интеграл *....................... 647
§ 2. Вычисление двойного интеграла................. 653
§ 3. Вычисление двойного интеграла (продолжение) *......... 659
§ 4. Вычисление площадей и объемов с помощью двойных интегралов 666
§ б. Двойной интеграл в полярных координатах........... 668
§ 6. Замена переменных в двойном интеграле (общий случай) .... 675
§ 7. Вычисление площади поверхности................ 680
ОГЛАВЛЕНИЕ У
Стр
'§ 8. Плотность распределения вещества и двойной интеграл..... 683
~ 9. Момент инерции площади плоской фигуры........... 685
10. Координаты центра тяжести площади плоской фигуры...... 689
П. Тройной интеграл........................ 691
12. Вычисление тройного интеграла ** ............... 692
13. Замена переменных в тройном интеграле............ 697
14. Момент инерции и координаты центра тяжести тела....... 701
15. Вычисление интегралов, зависящих от параметра *....... 703
Упражнения к главе XIV.................... 704
I1 ГЛАВА XV
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ Г ПО ПОВЕРХНОСТИ
§ 1. Криволинейный интеграл ................... 711
.?.•• § 2. Вычисление криволинейного интеграла *............. 715
• § 3. Формула Грина......................... 720
•V § 4. Условия независимости криволинейного интеграла от пути инте-
"» * грирования........................... 722
•«':' § 5. Поверхностный интеграл.................... 726
4'К § 6. Вычисление поверхностного интеграла.............. 728
|р § 7. Формула Стокса........................ 731
•f.. § 8. Формула Остроградского.................... 736
?j § 9. Поверхностные интегралы от скалярных функций (интегралы по
'|Г. ' площади поверхности) **.................... 739
Ж § Ю. Криволинейные интегралы от скалярных функций (интегралы по
«15 длине дуги) **......................... 744
iff Упражнения к главе XV.............•...... 746
1> ГЛАВА XVI
J|V РЯДЫ
1. Ряд. Сумма ряда........................ 752
2. Необходимый признак сходимости ряда............. 755
3. Сравнение рядов с положительными членами.......... 757
4. Признак Даламбера....................... 759
5. Признак Коши......................... 763
6. Интегральный признак сходимости ряда............. 765
7. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.......... 768
8. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость . . . 770
9. Функциональные ряды..................... 774
10. Мажорируемые ряды...................... 775
11. Непрерывность суммы ряда................... 777
12. Интегрирование и дифференцирование рядов.......... 780
13. Степенные ряды. Интервал сходимости............. 784
14. Дифференцирование степенных рядов.............. 788
15. Ряды по степеням х — а ** .................. 790
16. Ряды Тейлора и Маклорена................... 791
17. Примеры разложения функций в ряды ............. 792
18. Формула Эйлера........................ 794
19. Биномиальный ряд....................... 795
20. Разложение функции In (! + •*) в степенный ряд. Вычисление логарифмов........................... 797
21. Вычисление определенных интегралов с помощью рядов.....799
Стр.
§ 22. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов . 801
§ 23. Уравнение Бесселя....................... 804
Упражнения к главе XVI.................... 809
ГЛАВА XVII РЯДЫ ФУРЬЕ
§ 1. Определение. Постановка задачи................. 814
§ 2. Примеры разложения функций в ряды Фурье.......... 818
§ 3. Одно замечание о разложении периодической функции в ряд
Фурье............................. 823
§ 4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций.......... 826
§ 5. Ряд Фурье для функции с периодом 2/............. 827
§ 6. О разложении в ряд Фурье непериодической функции **.... 829 § 7. Приближение в среднем заданной функции с помощью тригонометрического многочлена.................... 830
§ 8. Интеграл Дирихле........................ 836
§ 9. Сходимость ряда Фурье в данной точке............ . 839
§ 10. Ряд Фурье для дифференцируемой функции *......,, . . . 840
§ 11. Практический гармонический анализ...........'. . . . 843
Упражнения к главе XVII.................... 844
ПРЕДИСЛОВИЕ
В настоящей книге автор пытался отразить опыт работы по курсу математического анализа во втузе, которую ему пришлось вести в течение ряда лет под руководством члена-корреспондента АН СССР В. В. Голубева, а затем самостоятельно. Содержание книги, в основном, определяется программой курса математики для втузов, рассчитанной на 300—400 часов.
При изложении материала обращалось особое внимание на выяснение основных понятий и приложения математического анализа, а также на логическую стройность в изложении и расположении
материала.
Отмечу особенности в изложении материала некоторых глав.
Изложение вопроса об исследовании функций (возрастание и убывание функции, максимум и минимум и т. д.) имеет некоторые методические трудности; привлечение формулы Тейлора делает изложение громоздким, изложение же наглядно-геометрическое вызывает неудовлетворенность как у учащихся, так и у учащих. В настоящей книге этот вопрос изложен с помощью применения формулы конечных приращений.
Среди методов приближенного интегрирования рассмотрена
формула Чебышева. В главе о свойствах многочленов дано понятие
о теории Чебышева — о наилучших приближениях функций с по-
' мощью многочленов. Эти разделы курса в учебниках приводятся
редко, хотя часто используются инженерами в их практической
деятельности.
Даны понятия о качественной теории дифференциальных уравнений и теории устойчивости Ляпунова.
Автор отказался от традиционного изложения материала о кратных интегралах. В главе «Кратные интегралы» геометрические соображения используются лишь для наглядной иллюстрации теорем, доказанных аналитически. Этот подход, как показывает опыт, впол«е усваивается учащимися.
Глава «Ряды Фурье», кроме изложения формальной теории, содержит доказательство сходимости рядов Фурье для кусочно гладких функций. Без доказательства приведены теоремы о рядах Фурье для функций более широкого класса.
Книга снабжена большим количеством специально подобранных задач по каждому разделу курса, что в значительной мере исключает необходимость использования задачника и, кроме того, способствует усвоению излагаемого материала.
В процессе редактирования книги Ю. С. Очан взял на себя труд по написанию отдельных параграфов, а В. А. Солодков написал первые две главы, использовав при этом материалы, предоставленные ему автором. Автор приносит им за это свою искреннюю благодарность.
Автор благодарит также А. Н. Черкасова, В. Я. Козлова, Н. К. Врушлинского, И. Я. Верченко и К. Ф. Малявко, принявшим деятельное участие в обсуждении книги в процессе ее написания, и М. Л. Смолянского за большую работу по ее редактированию.
Автор
Цена книги: 150руб.
