Справочник содержит систематическое изложение основ теория вероятностей, теории случайных процессов, математической статистики. В нем определены' понятия вероятностного пространства, случайной величины, математического ожидания, условных вероятностей и математических ожиданий, случайного процесса и случайного поля; рассмотрены предельные теоремы для случайных величин и случайных . процессов; описаны основные классы случайных процессов; приведены важнейшие методы проверки статистических гипотез и построения оценок' параметров для распределений случайных величин и случайных процессов.
Справочник спланирован таким образом, чтобы по нему можно было ознакомиться с основными идеями, методами и результатами теории вероятностей и математической статистики и в то же время найти ответ на конкретный вопрос.
Рассчитан на научных работников, инженеров, работающих в области теории вероятностей либо применяющих ее методы в фи-вике, радиотехнике, биологии, экономике и других областях знания, а также на аспирантов и студентов вузов.
Настоящий справочник содержит основные положения теории вероятностей, теории случайных процессов и математической статистики (к ним относятся определения понятий, аксиомы, формулировки предложений, формулы), а также описание методов и идей, используемых в теоретико-вероятностных рассуждениях (характеристические функции и преобразования Лапласа, спектральные представления для стационарных процессов и однородных полей, метод дифференциальных уравнений в теории марковских процессов, абсолютная непрерывность мер в статистике случайных процессов и т. п.). Теоретико-вероятностные методы иллюстрируются простыми примерами, что поможет читателю самостоятельно решать задачи практического характера, сводя их к известной теоретико-вероятностной схеме и используя описанные в справочнике методы. Справочник содержит большой фактический материал и может быть полезен как читателям, желающим ознакомиться с фактами с целью их применения, но не интересующимся математическими доказательствами, так и специалистам в области теории вероятностей для справок в их научной работе. Отметим, что такого рода книги до настоящего времени не было.
Справочник разбит на три части, посвященные соответственно теории вероятностей, теории случайных процессов, математической статистике. В первой части приведены основные определения: вероятностного пространства, случайной величины, математического ожидания, условных вероятностей и математических ожиданий, рассмотрены последовательности независимых событий и величин, цепи Маркова, предельные теоремы, а также описаны аналитические ме-,тоды, используемые в предельных теоремах для сумм независимых случайных величин.
Во второй части приведены основные понятия теории случайных процессов и полей, а также общие вопросы этой теории: й?2-теория, исследование абсолютной непрерывности мер, соответствующих случайным процессам, предельные теоремы для случайных процессов. Кроме того, в ней рассмотрены все важнейшие классы случайных процессов: мартингалы, процессы стационарные в узком и широком смысле, однородные и изотропные поля, марковские процессы, процессы с независимыми приращениями, ветвящиеся процессы, стохастические дифференциальные уравнения.
В третьей части излагаются основные понятия математической статистики, приведены методы проверки статистических гипотез и построения оценок параметров вероятностных распределений. Здесь же приведены важнейшие факты такой новой области, как статистика случайных процессов.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие............ ....... 3
Часть первая Теория вероятностей
Глава 1. Вероятностное пространство.......... 5,
1.1. Случайный эксперимент . ........ 5
1.2. Аксиомы и основные свойства вероятности .... 7
1.3. Определение вероятностного пространства..... 10
1.4. Случайные величины ............ 13
1.5. Группы случайных величин.......... 16
1.6. Математическое ожидание........... 21
17. Условные вероятности и математические ожидания . 26
Глава 2. Последовательности независимых событий и величин 34
2.1. Закон нуля и единицы.......- .... 31
2.2. Схема Бернулли.............. 35
2.3. Предельные теоремы для схемы Бернулли..... 37
2.4. Последовательности независимых случайных величин. Закон больших чисел...........' . . 39
2.5. Неравенство Колмогорова, Усиленный закон больших чисел................... 43
2.6. Ряды из независимых случайных величин..... 45
Глава 3. Аналитический аппарат............ 48
3.1. Производящие функции........... 43
3.2. Преобразование Лапласа............ 52
3.3. Характеристические функции......... 56
Глава 4. Центральная предельная теорема........ 63
4.1. Центральная предельная теорема для последовательностей независимых случайных величин....... "3
4.2. Центральная предельная теорема для независимых случайных векторов.............* 79
4 3. Локальные предельные теоремы.......• • li
4.4. Уточнение центральной предельной теоремы и асимп-тотические разложения............ „2
4.5. Большие уклонения.............
Глава -5. Безгранично делимые распределения .......
5.1. Суммы независимых случайных величин и их распреде- ^
ления....................*
578
5.2. Определение и основные свойства безгранично делимых распределений ............... 86
5.3. Предельные теоремы для схемы серий ...... 91
5.4. Предельные теоремы для нарастающих сумм в Я1 . . 94 Глава 6. Основные вероятностные распределения ...... 100
6.1. Дискретные распределения ывные распределения
100 107
6.1. Дискретные
6.2. Непрерывные распределения ..........
6.3. Распределения Пирсона ............ 123
6.4. Многомерные распределения .......... 125
6.5. Устойчивые распределения ........... 131
Глава 7. Случайные блуждания ............. 135
7.1. Процессы восстановления ........... 135
7.2. Классификация случайных блужданий на прямой . , 140
7.3. Функционалы на случайном блуждании ...... 142
7.4. Задача о разорении для полунепрерывных случайных блужданий ................. 145
7.5. Факторизационные тождества .......... 146
Глава 8. Цепи Маркова ............ ... 154
8.1. Определения. Общие свойства ......... 154
8.2. Однородные цепи Маркова ........... 164
8.3. Цепи Маркова с дискретным множеством состояний . 180
Часть вторая __рия случайных проце
Гмва 9 Основные понятия теории случайных процессов . JJ 1 яаои ?• v ........,„.«.„„.,„ ппппесса....... ™п
а у. vjcHUbnoiv, ..ч,........-
9.1. Определение случайного процесса........lau
9.2. Измеримость и интегрируемость случайных процессов 200
9.3. Сепарабельность. Свойства выборочных функций . . 203
9.4. Абсолютная непрерывность мер, соответствующих -случайным процессам . , ............208
Глава 10. 5?2-теория.................214
10.1. Пространство гильбертовых случайных величин
5?2 (Q, @, Р)................214
10.2. Стохастические меры и интегралы........218
10.3. Линейный прогноз и фильтрация гильбертовых случайных функций...............223
Глава 11. Стационарные процессы............226
11.1. Стационарные в широком смысле случайные процессы 226
11.2. Спектральное представление корреляционных функций 230
11.3. Спектральное представление стационарных процессов 233
11.4. Аналитические свойства стационарных процессов и их траекторий . ."...............236
11.5. Эргодическая и центральная предельная теоремы . . 238
11.6. Линейные преобразования (фильтры)......240
11.7. Процессы с дробно-рациональными спектральными плотностями................245
11.8. Прогнозирование, интерполирование и фильтрация стационарных процессов............248
11.9. Разложение стационарного процесса..... 254
11.10. Решение задач линейного прогнозирования, интерполирования и фильтрации......... 257
11.11. Стационарные в узком смысле случайные процессы 263
лава 12. Случайные поля...............272
12.1. Основные определения........... 272
12.2. Свойства выборочных функций.........276
12.3. Однородные случайные поля . ,........279
12.4. Изотропные случайные поля..........288
"лава 13. Мартингалы................293
13.1. Определения и примеры...........293
13.2. Свойства мартингалов и полумартингалов.....294
13.3. Замыкание, интегрируемость и существование предела 295
13.4. Марковские моменты и случайная замена времени . 29S
13.5. Некоторые применения............298
13.6. Разложение полумартингалов.........301
13.7. Квадратично интегрируемые мартингалы.....303
Глава 14. Марковские процессы............305
14.1. Марковские случайные функции........305
14.2. Марковские процессы. Определение и основные свойства ...................310
14.3. Мультипликативные функционалы от марковских процессов ...................320
Глава 15. Однородные марковские процессы........325
15.1. Определение и основные свойства........325
15.2. Полугруппы операторов, связанные с однородными марковскими процессами............328
15.3. Характеристические операторы строго марковских процессов...................333
15.4. Процессы со счетным множеством состояний .... 337
15.5. Функционалы от марковских процессов......346
15.6. Преобразования марковских процессов......352
15.7. Однородные диффузионные процессы в евклидовых пространствах ................ 356
15.8. Непрерывные процессы на прямой........360
Глава 16. Процессы с независимыми приращениями.....365
16.1. Определение и общие свойства.........365
- ~ ~ .--<----------—,,„ иоппопивныр ппонессы с независимыми
16.2. Стохастически непрерывные процессы приращениями ............
16.3. Однородные процессы. Асимптотические свойства .
16.4. Функционалы от процессов с независимыми прираще
ниями
368 370
375 381
16.5. Процесс Пуассона..............
16.6. Винеровский процесс.............ЗЬ4
Глаза 17. Ветвящиеся процессы.............390
17.1. Ветвящиеся процессы с одним типом частиц (дискретное время)..................390
17.2. Ветвящиеся процессы с одним типом частиц (непре-пивное воемя)...............39о
рывное время)
580
17.3. Ветвящиеся процессы с конечным числом типов частиц (дискретное время) ............ . 401
17.4. Ветвящиеся процессы с конечным числом типов частиц (непрерывное время).............407
17.5. Общие марковские ветвящиеся процессы.....411
Глава 18. Предельные теоремы для случайных процессов . . . 415
18.1. Слабая сходимость мер в метрических пространствах 415
18.2. Слабая сходимость мер в гильбертовом пространстве 417
18.3. Предельные теоремы для непрерывных случайных процессов ..........*........420
18.4. Предельные теоремы для процессов без разрывов второго рода.................423
Глава 19. Стохастические дифференциальные уравнения .... 426
19.1. Диффузионные процессы...........426
19.2. Стохастические интегралы по винеровскому процессу 429
19.3. Стохастические дифференциальные уравнения для непрерывных процессов ..... ........ 440
19.4. Стохастические интегралы по пуассоновским мерам . 452
19.5. Стохастические дифференциальные уравнения для процессов с разрывами.............458
Часть третья Математическая статистика
Глава 20. Проверка статистических гипотез........462
20.1 Основные понятия и задачи математической статистики 462
20.2. Процедуры проверки гипотез . .........466
20.31 Критерии проверки статистических гипотез .... 468
20.4. Распределение выборки...........475
20.5. Распределение выборочных характеристик.....480
--------- ......484
Глава 21. Теория оценивания параметров.........чоч
21.1. Задача оценивания -и свойства оценок......484
21.2. Методы построения оценок........, . 490
21.3. Доверительные области . . ~..........493
Глава 22. Оценки параметров некоторых распределений . . . 497
22.1. Оценки параметров нормального распределения . . . 497
22.2. Оценки параметров биномиального и пуассоновского распределений...............500
22.3. Оценки параметров равномерного распределения и Г-распределения...............502
Глава 23. Метод наименьших квадратов..........506
23.1. Оценки метода наименьших квадратов......506
23.2. Линейные модели регрессии..........511
Глава 24. Статистика случайных процлсоз........516
24.1. Различение гипотез..............516
24.2. Различение гипотез для процессов с независимыми приращениями .................519
24.3. Различение гипотез для диффузионных процессов . . 525
24.4. Различение гипотез о среднем значении гауссовского процесса..................529
24.5. Различение гипотез о корреляционной функции гауссовского процесса..............533
24.6. Оценки параметров распределений для случайных процессов ..................539
Глава 25. Статистика стационарных в широком смысле случайных процессов..............545
25.1. Свойства статистических оценок характеристик стационарных процессов..............545
25.2. Оценки неизвестного среднего.........546
25.3. Оценки параметров регрессии.........552
25.4. Оценки спектральной плотности и спектральной функции стационарных последовательностей......556
25.5. Оценки параметров спектральной плотности . . . .561
Латинский алфавит..................563
Греческий алфавит..................563
Готический алфавит.................564
Литература..................... 565
Предметный указатель.................569
Цена книги: 300руб.
