За последние годы значительно возросла роль теории вероятностей и математической статистики в математическом образовании инженера. Это нашло свое отражение в том, что в общую программу по высшей математике для инженерно-технических специально-1 стей высших учебных заведений включен специальный раздел: «Элементы теории вероятностей и математической статистики».
Настоящая книга представляет собой учебное пособие по этому разделу. По сравнению с предыдущими изданиями, предназначавшимися для факультативных курсов теории вероятностей, книга значительно переработана. Объем излагаемого материала более полно соответствует указанной программе. Значительно расширены разделы, посвященные приложениям теории вероятностей к математической статистике и к обработке результатов эксперимента. В связи с этим увеличен и круг вопросов, отобранных из общей теории вероятностей. Более подробно изложены многомерные распределения — распределения систем случайных величин. В отдельную главу выделены функции от случайных величин. Более полно освещены вопросы, относящиеся к моментам распределения. Увеличено число рассмотренных вероятностных моделей и соответствующих законов распределения. В частности, в связи с простейшим потоком
событий, играющим важную роль в задачах массового обслуживания, даны распределения Пуассона и показательное; в связи с оценками параметров нормального закона распределения даны распределения Пирсона и Стьюдента и т. п.
Изложение основных понятий по возможности упрощено, подчеркнуто статистическое толкование понятий вероятности, математического ожидания и др. У читателя предполагается знание математического анализа в объеме общей программы по высшей математике для втузов. Некоторые более трудные вопросы, выходящие за рамки минимальной программы, напечатаны мелким шрифтом и при первом чтении могут быть опущены. Примеры, приводимые в тексте, важны для лучшего усвоения основ теории; рекомендуется разбирать их подробно. Небольшое число упражнений в конце каждой главы приведено для выработки необходимых навыков в решении задач и для ознакомления с различными специальными вопросами.
Автор выражает глубокую благодарность Б. В. Гне-денко за ряд ценных указаний и Р. С. Гутеру за большую работу по улучшению изложения.
Изложение основных понятий по возможности упрощено, подчеркнуто статистическое толкование понятий вероятности, математического ожидания и др. У читателя предполагается знание математического анализа в объеме общей программы по высшей математике для втузов. Некоторые более трудные вопросы, выходящие за рамки минимальной программы, напечатаны мелким шрифтом и при первом чтении могут быть опущены. Примеры, приводимые в тексте, важны для лучшего усвоения основ теории; рекомендуется разбирать их подробно. Небольшое число упражнений в конце каждой главы приведено для выработки необходимых навыков в решении задач и для ознакомления с различными специальными вопросами.
Автор выражает глубокую благодарность Б. В. Гне-денко за ряд ценных указаний и Р. С. Гутеру за большую работу по улучшению изложения.
1969 г.
Л. 3. Румшиский
1969 г.
Л. 3. Румшиский
ОГЛАВЛЕНИЕ
условие.................« • 5
Глава I
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ВЕРОЯТНОСТИ
Введение........;........... 7
§. 1.1. Случайные события, их относительная частота и вероятность ................. 10
§ 1.2. Основные свойства вероятностей, правило сложения . 13 § 1.3. Вычисление вероятностей в классической модели ... 16 § 1.4, Правило умножения вероятностей и условнее вероятности ...................20
§ 1.5. Формула полной вероятности и формулы Байеса . . 24
§ 1.6. Независимость случайных событий........ 27
Упражнения................... 32
Глава II
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
§ 2.1. Дискретные случайные величины......... 34
§ 2.2. Математическое ожидание дискретной случайной величины ................... 37
§' 2.3. Геометрическое распределение.......... 39
§ 2.4. Биномиальное и гипергеометрическое распределения 41
§ 2.5. Распределение Пуассона............ 48
§ 2.6. Непрерывные случайные величины........ 53
§ 2.7. Примеры непрерывных распределений....... 58
§ 2.8. Функция распределения вероятностей ....... 63
§ 2.9. Многомерные случайные величины ........ 66
Упражнения . ,.."....•........... 69
Глава III
ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. НЕЗАВИСИМОСТЬ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
§ 3.1. Функции (преобразования) одной случайной величины 70 § 3.2. Функции (преобразования) нескольких случайных величин ................... . 73
§ 3.3. Независимость случайных величин.......». 88
Упражнения ................... 98
НОРМАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 4.1. Одномерное нормальное распределение вероятностей . 100
| 4.2. Предельная теорема Муавра — Лапласа...... 116
§ 4.3. Понятие о центральной предельной теореме Ляпунова.
Распределение случайных ошибок измерения . . . .127
§ 4.4. Некоторые распределения, связанные с нормальным . 130
§ 4.5. Двумерное нормальное распределение....... 135
Упражнения................... 140
.
О Гла ва V
МОМЕНТЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
§ 5.1. Свойства математического ожидания как операции
осреднения.................141
§ 5.2. Моменты одномерных распределений ........ 146.
§ 5.3. Закон больших чисел. Теорема Чебышева ..... 158
§ 5.4. Моменты многомерных распределений . . . ". . . .168
Упражнения ................... 177
Глава VI
ПРИЛОЖЕНИЯ К ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА
§ 6.1. Доверительные оценки параметров нормального распределения.................178
§ 6.2. Сравнение средних. Понятие о проверке гипотез . . 194 § 6.3. Проверка нормальности распределения. Понятие о критериях согласия ..... .......... 199
§ 6.4. Метод наименьших квадратов...........203
Упражнения................... 214
Глава VII
УСЛОВНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
§ 7.1, Условные распределения вероятностей.......216
§ 7.2, Регрессии ......'•.............220
§ 7.3, Анализ линейной корреляции по результатам эксперимента . w.................226
Упражнения...............'•.....237
Ответы и указания к упражнениям.......... 238
Предметный указатель ..............252
Обозначения ..................255
Перечень таблиц.................256
Цена книги: 100руб.
